作业帮怎么推出双曲线三角形面积公式啊?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 12:51:48
怎么推出双曲线三角形面积公式啊?
双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1,P为曲线上任意一点,若∠F1PF2=θ,S△F1PF2=b2/tan（θ/2） 这是一个公式,但我不知道是怎么推出来的?
双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1,P为曲线上任意一点,若∠F1PF2=θ,S△F1PF2=b2/tan（θ/2） 这是一个公式,但我不知道是怎么推出来的?
证明：图就不画了,设边长PF1=m,PF2=n,
则由余弦定理得：
cosθ=(m^2+n^2-(2c)^2)/(2mn)
=[(m-n)^2+2mn-4c^2]/(2mn)
=1+[(m-n)^2-4c^2]/(2mn)
又双曲线的定义|m-n|=2a,故(m-n)^2=4a^2,
cosθ=1+[(m-n)^2-4c^2]/(2mn)
=1+[4a^2-4c^2]/(2mn)
=1-4b^2/(2mn)
即mn=2b^2/(1-cosθ)
又三角形的面积公式
S=1/2*mnsinθ
=b^2*sinθ/(1-cosθ)
下边要用到一个万能公式即tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ)=(1-cosθ)/sinθ
故S=b2/tan（θ/2）
则由余弦定理得：
cosθ=(m^2+n^2-(2c)^2)/(2mn)
=[(m-n)^2+2mn-4c^2]/(2mn)
=1+[(m-n)^2-4c^2]/(2mn)
又双曲线的定义|m-n|=2a,故(m-n)^2=4a^2,
cosθ=1+[(m-n)^2-4c^2]/(2mn)
=1+[4a^2-4c^2]/(2mn)
=1-4b^2/(2mn)
即mn=2b^2/(1-cosθ)
又三角形的面积公式
S=1/2*mnsinθ
=b^2*sinθ/(1-cosθ)
下边要用到一个万能公式即tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ)=(1-cosθ)/sinθ
故S=b2/tan（θ/2）