讨论函数f(x)=2x+(1/x^2)在x>0上的单调性
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 10:34:05
讨论函数f(x)=2x+(1/x^2)在x>0上的单调性
不等式法:
f(x) = 2x+1/x²
= x + x + 1/x²
≥ [x·x·(1/x²)]的立方根 (当且仅当x=x=1/x²,也就是x=1时取“=”)
=1
所以f(x)当x=1时取最小值,由此容易知道
x∈(0,1)时,函数单调减;
x∈(1,+∞)时,函数单调增.
导数法判断单调性:
f'(x)=2-2/x³=2(1-1/x³)
所以当x>0时,
x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数单调减;
x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数单调增.
用单调性的定义:
设0<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=2x1+1/x1²-(2x2+1/x2²)
=2(x1-x2)-(x1²-x2²)/x1²x2²
=(x1-x2)·[2x1²x2²-(x1+x2)]/x1²x2²
=(x1-x2)·[x1²x2²-x1+x1²x2²-x2)]/x1²x2²
=(x1-x2)·[x1(x1x2²-1)+x2(x1²x2-1)]/x1²x2²
所以当x1<x2<1时,
(x1-x2)·[x1(x1x2²-1)+x2(x1²x2-1)]/x1²x2²>0
此时f(x)为减函数;
当1<x1<x2时,
(x1-x2)·[x1(x1x2²-1)+x2(x1²x2-1)]/x1²x2²<0
此时f(x)为增函数.
于是x∈(0,1)时,函数单调减;
x∈(1,+∞)时,函数单调增.
f(x) = 2x+1/x²
= x + x + 1/x²
≥ [x·x·(1/x²)]的立方根 (当且仅当x=x=1/x²,也就是x=1时取“=”)
=1
所以f(x)当x=1时取最小值,由此容易知道
x∈(0,1)时,函数单调减;
x∈(1,+∞)时,函数单调增.
导数法判断单调性:
f'(x)=2-2/x³=2(1-1/x³)
所以当x>0时,
x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数单调减;
x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数单调增.
用单调性的定义:
设0<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=2x1+1/x1²-(2x2+1/x2²)
=2(x1-x2)-(x1²-x2²)/x1²x2²
=(x1-x2)·[2x1²x2²-(x1+x2)]/x1²x2²
=(x1-x2)·[x1²x2²-x1+x1²x2²-x2)]/x1²x2²
=(x1-x2)·[x1(x1x2²-1)+x2(x1²x2-1)]/x1²x2²
所以当x1<x2<1时,
(x1-x2)·[x1(x1x2²-1)+x2(x1²x2-1)]/x1²x2²>0
此时f(x)为减函数;
当1<x1<x2时,
(x1-x2)·[x1(x1x2²-1)+x2(x1²x2-1)]/x1²x2²<0
此时f(x)为增函数.
于是x∈(0,1)时,函数单调减;
x∈(1,+∞)时,函数单调增.
讨论函数f(x)=2x+1/(x的平方)在x>0上的单调性
讨论函数f(x)=2x+(1/x^2)在x>0上的单调性
讨论函数f(x)=ax/x^2-1(a≠0)在区间(-1,1)上的单调性
试讨论函数f(x)=根号下1-x^2在区间[-1,1]上的单调性
讨论函数f(x)=(1/3)^(x^2-2x)的单调性
讨论函数f(x)=3x/(x^2+1)的单调性,并加以证明
讨论函数f(x)=(1/3)∧x²-2x的单调性
已知函数f(x)=-x^2+2x 讨论f(x)在区间(负无穷大,1】 上的单调性,并证明你的结论.
已知函数f(x)=a+(1-2a)/(x+2),(a≠1/2),试讨论函数f(x)在区间(-2,+∞)上的单调性.
已知函数f(x) =lnx+2a/x,a∈R.讨论函数f(x)在 [1,2]上的单调性及单调区间.
讨论函数f(x)的单调性:(1)f(x)=kx+b (2)f(x)=k/x
判断函数f(x)=x+2/x在上(0,正无穷)的单调性