作业帮一个概率学的问题,贝叶斯公式积分?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：英语作业 时间：2024/05/13 20:12:38
一个概率学的问题,贝叶斯公式积分?
一个袋子里面有7个球,其中只有蓝色或者红色,可能有0、1、2、3、4、5、6、7个红色,这8种情况的概率都一样,现在随机取出3个,发现有1个是红色,那么请问再随机取出一个,是红色的概率是多少?（问题已经完整描述,说得很清楚了）
答案是2/5,为什么?
推广开来是N个球,取出P个,红色的概率为Q个,
有人说这题要利用贝叶斯公式积分,积分化简就是Q+1/P+2；
不理解,求阐述明白...别从别的地方黏过来,我都看过了的
Mr.B and Mr.M like to play with
balls.They have many balls colored in blue and red.Firstly,Mr.B randomly
picks up N balls out of them and put them into a bag.Mr.M knows that there are
N+1 possible situations in which the number of red balls is ranged from 0 to N,
and we assume the possibilities of the N+1 situations are the same.But Mr.M
does not know which situation occurs.Secondly,Mr.M picks up P balls out of
the bag and examines them.There are Q red balls and P-Q blue balls.The
question is:if he picks up one more ball out of the bag,what is the possibility that this ball is red?
一个袋子里面有7个球,其中只有蓝色或者红色,可能有0、1、2、3、4、5、6、7个红色,这8种情况的概率都一样,现在随机取出3个,发现有1个是红色,那么请问再随机取出一个,是红色的概率是多少?（问题已经完整描述,说得很清楚了）
答案是2/5,为什么?
推广开来是N个球,取出P个,红色的概率为Q个,
有人说这题要利用贝叶斯公式积分,积分化简就是Q+1/P+2；
不理解,求阐述明白...别从别的地方黏过来,我都看过了的
Mr.B and Mr.M like to play with
balls.They have many balls colored in blue and red.Firstly,Mr.B randomly
picks up N balls out of them and put them into a bag.Mr.M knows that there are
N+1 possible situations in which the number of red balls is ranged from 0 to N,
and we assume the possibilities of the N+1 situations are the same.But Mr.M
does not know which situation occurs.Secondly,Mr.M picks up P balls out of
the bag and examines them.There are Q red balls and P-Q blue balls.The
question is:if he picks up one more ball out of the bag,what is the possibility that this ball is red?
你题目没写对吧.
随机取出3个,只有1个是红色,本来概率是1/4.
但是现在这件事情已经发生了,概率就是1.
这时候剩下的4个球摸一个红球出来的概率当然是1/2.
也可以这样想,本来袋子里每一个球是红是蓝的概率都是1/2,这个概率和其他球是红是蓝没有任何关系.也就是球是红是蓝是独立事件.
从里面拿多少个球出来,剩下的球是红是蓝还是独立事件.任意一个球是红色的概率还是1/2.
另外古典概型没听说过还要积分的.完全没必要.
再问： 我的想法也是即使推广开来答案也是常数1/2，但是题目中给出的推广答案就是Q+1/P+2,我把原题贴上来了...
再答： 我明白了,题目的意思是袋里有多少个红球的概率是一样的,而不是每个球是红是蓝的概率一样,这不是一回事.大致思路我有了,回头给你算算. 万一改不了答案我贴评论里面. 原本红球数为i i从0到7 等可能. 原本红球数为i的情况下摸出1个红球2个篮球的可能性分别为0 , 15 / 35, 20 / 35, 18 / 35, 12 / 35, 5 / 35, 0, 0 举个例子原本红球数2个的情况下摸出1红2篮概率是C(2,1)C(5,2)/C(7,3)=20 / 35 注意摸出1个红球2个篮球之后实际上就已经否定了i=0,6,7这3种可能.而剩下的5种情况发生概率并不相等,分别为 15/(15+20+18+12+5)=15/70,20/70,18/70,12/70,5/70 剩下的4个球里面红球数为i(i从0到4)的情况下,摸出红球的概率是0,1/4,2/4,3/4,4/4. 最终答案就是15/70*0+20/70*1/4+18/70*2/4+12/70*3/4+5/70*4/4=2/5 一般性的证明打上来太费时间了。
再问： 能搜索一般性证明的网站给我么？可以的话加分，不可以的话也无所谓，你解释了2/5的那个答案了，多谢~
再答： 一般性证明原来以为很容易，实际一做我也做不出来。 好在找只会做题目的猴子不容易，会做题目的高手真是一堆一堆的。 设Ai为原来袋子有i只红球事件（i从0到n）。 B为从袋子里取出q只红球，p只篮球事件。 C为又从袋子里取出一只红球事件。 已知P(Ai)=1/(N+1) 贝叶斯公式： P(AiIB)=P(BIAi)P(Ai)/∑P(BIAi)P(Ai) (i从q到n-p) 提出P(Ai)消掉。 P(AiIB)=P(BIAi)/∑P(BIAi) (i从q到n-p) (1) 其中P(BIAi)=C(i,q)*C(n-i,p)/C(n,q+p) (2) 由全概率公式 P(C)=∑P(CIAiB)*P(AiB) (i从q到n-p) 其中P(CIAiB)=（i-q）/（n-p-q）(i从q到n-p) P(AiB)=P(AiIB)P(B)=P(AiIB) 带入(1)(2)通分消除C(n,q+p)之后得 P(C)=∑（i-q）/（n-p-q）*C(i,q)*C(n-i,p)/∑C(i,q)*C(n-i,p) (i从q到n-p) 将上式中的i代换成i+q，得 P(C)=[1/（n-p-q）]*∑i*C(i+q,q)*C(n-i-q,p)/∑C(i+q,q)*C(n-i-q,p) (i从0到n-p-q) 其中i*C(i+q,q)=(q+1)C(i+q,q+1)即 P(C)=[(q+1)/（n-p-q）]*∑C(i+q,q+1)*C(n-i-q,p)/∑C(i+q,q)*C(n-i-q,p) (i从0到n-p-q) (3) 做到这里我就不会做了，好在有百度。 要求上式先证明引理。 对（1-x）^-(n+1)做麦克劳林展开=∑C(n＋i,n)*x^i] (i从0到无穷大) 则： (1－x)^(-(p+1))＝∑[C(p＋i,p)*x^i] (1－x)^(-(q+1))＝∑[C(q＋i,q)*x^i] (1－x)^(-(p+1))*(1－x)^(-(q+1))＝[∑[C(p＋i,p)*x^i]]*[∑[C(q＋i,q)*x^i]] ＝∑(n从0到无穷大)[(∑(i从0到n)[C(q＋i,q)*C(p＋n－i,p)])*x^n] (4) 同时(1－x)^(-(p+1))*(1－x)^(-(q+1))= (1－x)^(-(p+q+2))＝∑[C(p＋q＋n＋1,p＋q＋1)*x^n (n从0到无穷大) (5) 比较（4）（5）系数得 C(p＋q＋n＋1,p＋q＋1)＝∑[C(q＋i,p)*C(p＋n－i,p)] (i从0到n) 设n=n-p-q得： C(n＋1,p＋q＋1)＝∑[C(q＋i,q)*C(n-q－i,p)] (i从0到n-p-q) (6) 上式做代换i=i-1 p=p+1得： C(n＋1,p＋q＋2)＝∑[C(q＋i,q+1)*C(n-q－i,p)] (i从1到n-p-q) (7) （6）（7）代入（3） P(C)=(q+1)/（n-p-q）*C(n＋1,p＋q＋2)/C(n＋1,p＋q＋1)=（q+1）/（p+q+2） 得证。 证明说难也不难，对麦克劳林公式不熟悉确实做不出来。
随机取出3个,只有1个是红色,本来概率是1/4.
但是现在这件事情已经发生了,概率就是1.
这时候剩下的4个球摸一个红球出来的概率当然是1/2.
也可以这样想,本来袋子里每一个球是红是蓝的概率都是1/2,这个概率和其他球是红是蓝没有任何关系.也就是球是红是蓝是独立事件.
从里面拿多少个球出来,剩下的球是红是蓝还是独立事件.任意一个球是红色的概率还是1/2.
另外古典概型没听说过还要积分的.完全没必要.
再问： 我的想法也是即使推广开来答案也是常数1/2，但是题目中给出的推广答案就是Q+1/P+2,我把原题贴上来了...
再答： 我明白了,题目的意思是袋里有多少个红球的概率是一样的,而不是每个球是红是蓝的概率一样,这不是一回事.大致思路我有了,回头给你算算. 万一改不了答案我贴评论里面. 原本红球数为i i从0到7 等可能. 原本红球数为i的情况下摸出1个红球2个篮球的可能性分别为0 , 15 / 35, 20 / 35, 18 / 35, 12 / 35, 5 / 35, 0, 0 举个例子原本红球数2个的情况下摸出1红2篮概率是C(2,1)C(5,2)/C(7,3)=20 / 35 注意摸出1个红球2个篮球之后实际上就已经否定了i=0,6,7这3种可能.而剩下的5种情况发生概率并不相等,分别为 15/(15+20+18+12+5)=15/70,20/70,18/70,12/70,5/70 剩下的4个球里面红球数为i(i从0到4)的情况下,摸出红球的概率是0,1/4,2/4,3/4,4/4. 最终答案就是15/70*0+20/70*1/4+18/70*2/4+12/70*3/4+5/70*4/4=2/5 一般性的证明打上来太费时间了。
再问： 能搜索一般性证明的网站给我么？可以的话加分，不可以的话也无所谓，你解释了2/5的那个答案了，多谢~
再答： 一般性证明原来以为很容易，实际一做我也做不出来。 好在找只会做题目的猴子不容易，会做题目的高手真是一堆一堆的。 设Ai为原来袋子有i只红球事件（i从0到n）。 B为从袋子里取出q只红球，p只篮球事件。 C为又从袋子里取出一只红球事件。 已知P(Ai)=1/(N+1) 贝叶斯公式： P(AiIB)=P(BIAi)P(Ai)/∑P(BIAi)P(Ai) (i从q到n-p) 提出P(Ai)消掉。 P(AiIB)=P(BIAi)/∑P(BIAi) (i从q到n-p) (1) 其中P(BIAi)=C(i,q)*C(n-i,p)/C(n,q+p) (2) 由全概率公式 P(C)=∑P(CIAiB)*P(AiB) (i从q到n-p) 其中P(CIAiB)=（i-q）/（n-p-q）(i从q到n-p) P(AiB)=P(AiIB)P(B)=P(AiIB) 带入(1)(2)通分消除C(n,q+p)之后得 P(C)=∑（i-q）/（n-p-q）*C(i,q)*C(n-i,p)/∑C(i,q)*C(n-i,p) (i从q到n-p) 将上式中的i代换成i+q，得 P(C)=[1/（n-p-q）]*∑i*C(i+q,q)*C(n-i-q,p)/∑C(i+q,q)*C(n-i-q,p) (i从0到n-p-q) 其中i*C(i+q,q)=(q+1)C(i+q,q+1)即 P(C)=[(q+1)/（n-p-q）]*∑C(i+q,q+1)*C(n-i-q,p)/∑C(i+q,q)*C(n-i-q,p) (i从0到n-p-q) (3) 做到这里我就不会做了，好在有百度。 要求上式先证明引理。 对（1-x）^-(n+1)做麦克劳林展开=∑C(n＋i,n)*x^i] (i从0到无穷大) 则： (1－x)^(-(p+1))＝∑[C(p＋i,p)*x^i] (1－x)^(-(q+1))＝∑[C(q＋i,q)*x^i] (1－x)^(-(p+1))*(1－x)^(-(q+1))＝[∑[C(p＋i,p)*x^i]]*[∑[C(q＋i,q)*x^i]] ＝∑(n从0到无穷大)[(∑(i从0到n)[C(q＋i,q)*C(p＋n－i,p)])*x^n] (4) 同时(1－x)^(-(p+1))*(1－x)^(-(q+1))= (1－x)^(-(p+q+2))＝∑[C(p＋q＋n＋1,p＋q＋1)*x^n (n从0到无穷大) (5) 比较（4）（5）系数得 C(p＋q＋n＋1,p＋q＋1)＝∑[C(q＋i,p)*C(p＋n－i,p)] (i从0到n) 设n=n-p-q得： C(n＋1,p＋q＋1)＝∑[C(q＋i,q)*C(n-q－i,p)] (i从0到n-p-q) (6) 上式做代换i=i-1 p=p+1得： C(n＋1,p＋q＋2)＝∑[C(q＋i,q+1)*C(n-q－i,p)] (i从1到n-p-q) (7) （6）（7）代入（3） P(C)=(q+1)/（n-p-q）*C(n＋1,p＋q＋2)/C(n＋1,p＋q＋1)=（q+1）/（p+q+2） 得证。 证明说难也不难，对麦克劳林公式不熟悉确实做不出来。