（2011•吉安模拟）2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/22 06:57:36

（2011•吉安模拟）2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g₀，引力常量为G．不考虑其它星体对飞船的影响，求：
（1）飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比．
（2）飞船在轨道Ⅰ上的运动周期．
（3）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间．

（1）在轨道I有G
Mm
(4R)2＝m

v21
4R          （1）
在轨道II上有G
Mm
R2＝m

v2m
R                  （2）
（1）÷（2）得：
v1
vm＝
1
2
（2）设飞船在轨道I上的运动周期为T₁，在轨道I有
G
Mm
(4R)2＝m
4π2

T214R                （3）
在月球表面有 G
Mm
R2＝mg1        （4）
联立（3）（4）解得：T1＝16π

R
g1    （5）
（3）设飞船在轨道II上的运动周期T₂，轨道II的半长轴为2.5R，根据开普勒定律得

T22
(2.5R)3＝

T21
(4R)3                  （6）
由（5）（6）可解得：T2＝7.9π

R
g1
飞船从A到B的飞行时间为t=
T2
2=4π

R
g1
答：（1）飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比为1：2；
（2）飞船在轨道Ⅰ上的运动周期T1＝16π

R
g1；
（3）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间=4π

R
g1．