设函数f(x)=lnx+ln(2-x)-ax(a大于0).(1)当a=1,求f(x)单调区间;(2)若f(x)在(0,1
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/17 07:38:03
设函数f(x)=lnx+ln(2-x)-ax(a大于0).(1)当a=1,求f(x)单调区间;(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1/2,求a值
设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0) (1)当a=1时
f(x)=lnx+ln(2-x)+x
=ln[x(2-x)]+x
f'(x)=(2-2x)/x(2-x)+1
令f'(x)>0,得
(2-2x²)/x(2-x)>0
即2(1-x)(1+x)(2-x)>0
解得x∈(-1,1)U(2,+∞)
∴f(x)于(-1,1),(2,+∞)↑于(-∞,-1),(1,2)↓
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1/2
∵f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0)
∴f'(x)=(2-2x)/x(2-x)+a
令f'(x)>0,得
[-ax²+(2a-2)x+2]/x(2-x)>0
当x∈(0,1]时,x(2-x)>0恒成立
∴-ax²+(2a-2)x+2>0,x∈(0,1]
a>0时,设g(x)=-ax²+(2a-2)x+2
则g(0)≥0,g(1)≥0
即2≥0,a≥0成立
∴f(x)于(0,1]↑
∴f(x)max=f(1)=1/2
即ln1+ln(2-1)+a=1/2
即a=1/2
再问: 是减ax
f(x)=lnx+ln(2-x)+x
=ln[x(2-x)]+x
f'(x)=(2-2x)/x(2-x)+1
令f'(x)>0,得
(2-2x²)/x(2-x)>0
即2(1-x)(1+x)(2-x)>0
解得x∈(-1,1)U(2,+∞)
∴f(x)于(-1,1),(2,+∞)↑于(-∞,-1),(1,2)↓
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为1/2
∵f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0)
∴f'(x)=(2-2x)/x(2-x)+a
令f'(x)>0,得
[-ax²+(2a-2)x+2]/x(2-x)>0
当x∈(0,1]时,x(2-x)>0恒成立
∴-ax²+(2a-2)x+2>0,x∈(0,1]
a>0时,设g(x)=-ax²+(2a-2)x+2
则g(0)≥0,g(1)≥0
即2≥0,a≥0成立
∴f(x)于(0,1]↑
∴f(x)max=f(1)=1/2
即ln1+ln(2-1)+a=1/2
即a=1/2
再问: 是减ax
设函数f(x)=lnx+ln(2-x)-ax(a大于0).(1)当a=1,求f(x)单调区间;(2)若f(x)在(0,1
设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0).(1)当a=1时,求f(x)单调区间;(2)若f(x)在(0,1
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