已知x=(0度,90度).求y=sinα乘cosα的平方的最大值?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/17 05:52:45
已知x=(0度,90度).求y=sinα乘cosα的平方的最大值?
设t=(sinαcos²α) ²,α∈(0º,90º),
则t=sin²αcos²αcos²α
=(1/2) ×(2 sin²α)(cos²α)(cos²α)
≤(1/2) ×{[(2 sin²α)+(cos²α)+(cos²α)]/3}³
=(1/2) ×(2/3)³
=4/27,
∴当且仅当2 sin²α=cos²α时,t有最大值4/27,
∵α∈(0º,90º),
∴sinα,cosα均为正,且t>0,y=√t,
∴当tanα=√2/2时,y有最大值(2√3)/9.
这种解法是以不等式性质:a,b,c>0时,abc≤[(a+b+c)/3]³
为依据的,你若学过导数,也可在换元后利用导数求最值.
则t=sin²αcos²αcos²α
=(1/2) ×(2 sin²α)(cos²α)(cos²α)
≤(1/2) ×{[(2 sin²α)+(cos²α)+(cos²α)]/3}³
=(1/2) ×(2/3)³
=4/27,
∴当且仅当2 sin²α=cos²α时,t有最大值4/27,
∵α∈(0º,90º),
∴sinα,cosα均为正,且t>0,y=√t,
∴当tanα=√2/2时,y有最大值(2√3)/9.
这种解法是以不等式性质:a,b,c>0时,abc≤[(a+b+c)/3]³
为依据的,你若学过导数,也可在换元后利用导数求最值.
已知x=(0度,90度).求y=sinα乘cosα的平方的最大值?
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