已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是√5x－2y＝0

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/05 15:30:26

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是√5x－2y＝0
(1)求双曲线的方程
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为(81/2),求k的取值范围

分析：（1）设出双曲线方程,根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数,即得双曲线C的方程．（2）设出直线l的方程,代入双曲线C的方程,利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标,从而得到线段MN的垂直平分线方程,通过求出直平分线与坐标轴的交点,计算围城的三角形面积,由判别式大于0,求得k的取值范围．
设双曲线C的方程为x²/a²-y²/b²=1（a＞0,b＞0）．
由题设得a²+b²=9,b/a=√5/2,解得a²=4,b²=5,
所以双曲线方程为x²/4-y²/5=1．
设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．
点M（x1,y1）,N（x2,y2）的坐标满足方程组y=kx+m,x²/4-y²/5=1
将①式代入②式,得x²/4-(kx+m)²/5=1,
整理得（5-4k²）x²-8kmx-4m²-20=0．
此方程有两个一等实根,于是5-4k²≠0,
且△=（-8km）²+4（5-4k²）（4m²+20）＞0．
整理得m²+5-4k²＞0． ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0,y0）满足x0=﹙x1+x2﹚/2=4km/﹙5-4k²﹚,y0=kx0+m=5m/﹙5-4k²﹚．
从而线段MN的垂直平分线方程为y-5m/﹙5-4k²﹚=-1/k[x-4km/﹙5-4k²)]．
此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为(9km/﹙5-4k²﹚,0),(0,9m/﹙5-4k²﹚)．
由题设可得1/2|9km/﹙5-4k²﹚|•|9m/﹙5-4k²﹚|=81/2．
整理得m²=(5-4k²)²/|k|,k≠0．
将上式代入③式得(5-4k2)2|k|+5-4k2＞0,
整理得（4k²-5）（4k²-|k|-5）＞0,k≠0．
解得0＜|k|＜√5/2或|k|＞5/4．
所以k的取值范围是(-∞,-5/4)∪(-√5/2,0)∪(0,√5/2)∪(5/4,+∞)．
点评：本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理运算能力．