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设S = {a,b,c},在上定义代数运算".",使得:a.a=b,b.b=c,c.c=a,问代数系(S,.)能否构成一

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/06 01:36:27
设S = {a,b,c},在上定义代数运算".",使得:a.a=b,b.b=c,c.c=a,问代数系(S,.)能否构成一个半群?
不能.考虑a.b,若ab=a,则两边左乘a得到aab=aa,左边等于bb=c,右边等于b,与集合的互异性矛盾;
若ab=b,则两边右乘b得到abb=bb,故ac=c,两边再右乘c得到acc=cc,即有aa=a,即b=a,矛盾;
若ab=c,则两边左乘a得到aab=ac,故有bb=ac,即c=ac,与上一种情况一样了,矛盾.
综上,不能成为半群