如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（2，-9）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/18 11:16:25

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（2，-9）．
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，F为抛物线上的一个动点，记△PEF的面积为S，问S取何值时，相应的F点有且只有3个．

（1）∵二次函数y=x²+bx+c的顶点为（2，-9），
∴二次函数的解析式：y=（x-2）²-9=x²-4x-5．

（2）∵C、D关于x轴对称，
∴AD=AC、BC=BD，且CD∥y轴；
由抛物线的对称性知，点A、B关于直线CD对称，则：AD=BD、AC=BC；
∴AC=BC=BD=AD，即四边形ACBD是菱形；
若直线PE将四边形ACBD平分成两个面积相等的四边形，则直线PE必过AB、CD的交点G（2，0），
设直线PE的解析式为：y=kx+b（k≠0），将P（0，-5）、G（2，0）代入，得：

b＝−5
2k+b＝0，
解得

k＝
5
2
b＝−5．
故直线PE：y=
5
2x-5，联立抛物线的解析式，得：

y＝
5
2x−5
y＝x2−4x−5，
解得

x1＝0
y1＝−5，

x2＝
13
2
y2＝
45
4
故点E的坐标（
13
2，
45
4）．

（3）通过图示可以发现，
当点F在直线PE上方时，在直线PE的上方一定有两个点F；
当点F在直线PE下方时，若相应的F点有且只有3个，那么直线PE下方的点F只有一个；过点F作PE的平行线，该直线必与抛物线有且只有一个交点，此时点F到直线PE的距离最长；
以PE为底、点F到直线PE的距离为高，此时△PEF的面积最大，即S最大（情况如右图）；
设点F的坐标为（x，x²-4x-5），过点F作FH∥y轴，交直线PE于点H，则H（x，
5
2x-5），则：
FH=（
5
2x-5）-（x²-4x-5）=-x²+
13
2x；
则S=
1
2×
13
2×（-x²+
13
2x）=-
13
4（x-
13
4）²+
2197
64；
综上，当S=
2197
64时，相应的F点有且只有三个．

如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（2，-9）．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）．如图,已知二次函数y=x2+bx+c 的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点P,顶点为C（-1,2 ）.（1）求此函数如图，已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A．二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点如图，已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于原点O及另一点C．它的如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，求△BCD的面积．如图已知二次函数y=x²+bx+c的图像与x轴交于ab两点与y轴交于点p顶点为c（1,—2）已知二次函数y=x2次方-4x+3的图象与x轴交于AB两点（点A在点B的左边）,与y轴交于点C 顶点为D 如图,已知二次函数y=-x^2+bx+c的图像与x轴交于A,B,与Y轴交于点C,其顶点为D(1,4) （1）求二次函数的如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,点如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴交于点A、B, 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为实数，a≠0）的图象过点C（t，2），且与x轴交于A，B两点，若AC