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已知二次不等式ax^2+2x+b≤0的解集为{x|x=-1/a},且a>b,则(a-b)/a^2+b^2的取值范围是

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 10:05:48
已知二次不等式ax^2+2x+b≤0的解集为{x|x=-1/a},且a>b,则(a-b)/a^2+b^2的取值范围是
二次不等式ax^2+2x+b≤0的解集为{x|x=-1/a}
所以 a>0,且判别式=4-4ab=0
即 a>0,ab=1
所以 b=1/a
令 a-1/a=t
(a-1/a)²=t²
a²+1/a²-2=t²
a²+1/a²=t²+2
a²+b²=t²+2
(a-b)/(a²+b²)
=t/(t²+2)
=1/(t+2/t)
≤1/2√2
=√2/4
当且仅当t=√2时等号成立
所以 (a-b)/a^2+b^2∈(0,√2/4]