作业帮已知函数y=g(x)=sinx+cosx+2sinxcosx
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 11:53:51
已知函数y=g(x)=sinx+cosx+2sinxcosx
已知函数y=g(x)=a（sinx+cosx）+2sinxcosx
1、当a=1时 求函数的值域
2、若x∈[0，四分之π]时、g（x）≥sin2x+cosx-sinx恒成立、求a的取值范围
3、若x∈R时、g(x)min=-1、求a的值
已知函数y=g(x)=a（sinx+cosx）+2sinxcosx
1、当a=1时 求函数的值域
2、若x∈[0，四分之π]时、g（x）≥sin2x+cosx-sinx恒成立、求a的取值范围
3、若x∈R时、g(x)min=-1、求a的值
分析：由(sinx)^2+(cosx)^2=1进行解析如下,
1.y=g(x)=a（sinx+cosx）+2sinxcosx,当a=1时,
g(x)=sinx+cosx+2sinxcosx
=sinx+cosx+2sinxcosx+(sinx)^2+(cosx)^2-1
=(sinx+cosx)^2+sinx+cosx-1
令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2],则
g(x)=t^2+t-1=(t+1/2)^2-5/4
故t=-1/2时,g(x)min=-5/4
t=√2时,g(x)max=1+√2
即g(x)值域为[-5/4,1+√2]
2.当x∈[0,π/4]时、g（x）≥sin2x+cosx-sinx恒成立
将g(x)=a(sinx+cosx)+2sinxcosx代入上式得：
a(sinx+cosx)≥cosx-sinx
√2asin(x+π/4)≥√2cos(x+π/4)恒成立
由于x∈[0,π/4]
当x=π/4时,a≥0时成立；
当x≠π/4时,两边同除cos(x+π/4)得：
atan(x+π/4)≥1恒成立,显然a≠0,故tan(x+π/4)≥1/a恒成立
由于x∈[0,π/4],tan(x+π/4)∈[1,+∞]
故1/a≤1,从而有a≥1
因此,当x∈[0,π/4],g（x）≥sin2x+cosx-sinx恒成立时,a的取值范围为a≥1
3.将函数按照问题1中可化为：
g(x)==(sinx+cosx)^2+a(sinx+cosx)-1
同1中令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2],则
g(x)=t^2+at-1,将函数求导：
g(x)‘=2t+a 令g(x)‘=0,则有t=-a/2,
当-a/2≤-√2,此时a≥2√2,g(x)min=g(-√2)=1-√2a=-1 a=√2 由于a≥2√2,故此种情况不存在；
当-a/2≥√2,此时a≤-2√2,g(x)min=g(√2)=1+√2a=-1 a=-√2 由于a≤-2√2,故此种情况不存在；
当-√2≤-a/2≤√2,此时-2√2≤a≤2√2,g(x)min=g(-a/2)=-(a^2)/2-1=-1,此时,a=0,满足要求
1.y=g(x)=a（sinx+cosx）+2sinxcosx,当a=1时,
g(x)=sinx+cosx+2sinxcosx
=sinx+cosx+2sinxcosx+(sinx)^2+(cosx)^2-1
=(sinx+cosx)^2+sinx+cosx-1
令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2],则
g(x)=t^2+t-1=(t+1/2)^2-5/4
故t=-1/2时,g(x)min=-5/4
t=√2时,g(x)max=1+√2
即g(x)值域为[-5/4,1+√2]
2.当x∈[0,π/4]时、g（x）≥sin2x+cosx-sinx恒成立
将g(x)=a(sinx+cosx)+2sinxcosx代入上式得：
a(sinx+cosx)≥cosx-sinx
√2asin(x+π/4)≥√2cos(x+π/4)恒成立
由于x∈[0,π/4]
当x=π/4时,a≥0时成立；
当x≠π/4时,两边同除cos(x+π/4)得：
atan(x+π/4)≥1恒成立,显然a≠0,故tan(x+π/4)≥1/a恒成立
由于x∈[0,π/4],tan(x+π/4)∈[1,+∞]
故1/a≤1,从而有a≥1
因此,当x∈[0,π/4],g（x）≥sin2x+cosx-sinx恒成立时,a的取值范围为a≥1
3.将函数按照问题1中可化为：
g(x)==(sinx+cosx)^2+a(sinx+cosx)-1
同1中令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2],则
g(x)=t^2+at-1,将函数求导：
g(x)‘=2t+a 令g(x)‘=0,则有t=-a/2,
当-a/2≤-√2,此时a≥2√2,g(x)min=g(-√2)=1-√2a=-1 a=√2 由于a≥2√2,故此种情况不存在；
当-a/2≥√2,此时a≤-2√2,g(x)min=g(√2)=1+√2a=-1 a=-√2 由于a≤-2√2,故此种情况不存在；
当-√2≤-a/2≤√2,此时-2√2≤a≤2√2,g(x)min=g(-a/2)=-(a^2)/2-1=-1,此时,a=0,满足要求
已知函数y=g(x)=sinx+cosx+2sinxcosx
已知函数y=sinxcosx+sinx+cosx求值域
已知函数y=(sinx)^2+2sinxcosx-3(cosx)^2,x∈R函数的最小值,函数的最大值
已知函数f(x)=sinxcosx-m(sinx+cosx)
已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx ,求函数y的最大值.
已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx,求函数y的最大值.
已知函数y=sinxcosx+1/sinx+cosx,x属于（0,兀/2）,求y的最小值,蟹蟹
已知x属于实数,求函数y=1-cosx+sinx+sinxcosx的值域
已知函数y=sinxcosx+sinx+cosx，求x∈[0，π3]
已知函数y=sinx的平方+2倍根号3sinxcosx减cosx的平方,x属于R.
函数y=1+2sinxcosx+sinx+cosx的最大值
已知函数f（x）=23sinxcosx-（sinx+cosx）（sinx-cosx）．