求解一道高数积分题n趋近于正无穷

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 06:24:54

求解一道高数积分题

n趋近于正无穷

定积分的定义：
设函数f(x)在[a,b]上有界,把区间[a,b]任意分成n个小区间：[x0,x1],[x1,x2],...,[x(n-1),xn]
各个小区间的长度依次为△x1=x1-x0,△x2=x2-x1,...,△xn=xn-x(n-1)
在每个小区间[x(i-1),xi]上任取一点ξi [x(i-1)≤ξi≤xi] ,作函数值f(ξi)与小区间长度△xi的乘积f(ξi)△xi(i=1,2,...,n),并作和
S=∑f(ξi)△xi,(i=1,2,...,n)
设λ=max{△x1,△x2,…,△xi}(即λ属于最大的区间长度）,如果不论对区间[a,b]怎么划分,也不论在小区间[x(i-1),xi]上点ξi怎么取法,只要当λ→0时,该和式S都无限接近于确定的极限I,这个极限I就叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分.
定积分定义的内层含义：
当和S=∑f(ξi)△xi的极限总存在时,其极限I仅与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关.如果既不改变被积函数f(x),也不改变积分区间[a,b],那么对区间[a,b]的任何分法,在小区间[x(i-1),xi]上点ξi怎么取法,当λ→0时,该和式S=∑f(ξi)△xi总是趋于确定的极限I.所以,一般情况下为了简化运算,我们把区间n等分,每一个小区间的长度△x=(b-a)/n,ξi都取小区间上的右端点xi,λ=1/n→0时S=∑f(ξi)△xi=∑f(xi)(b-a)/n (i=1,2,...,n)=I
此题中被积函数f(x)=sinx,积分区间[0,1],那么把该区间n等分,每一个小区间的长度△x=1/n,ξi取小区间上的右端点xi=i/n,
当1/n趋于0,即n趋于∞时,
limS=
lim∑f(ξi)△xi
=lim∑f(i/n)/n
=lim(1/n)×∑f(i/n)
=lim(1/n)×[ sin(1/n) + sin(2/n) + ...+ sin(n/n) ]
= ∫(0->1) sinxdx
= (-cos1)-(-cos0)
= 1- cos1

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