作业帮黄金椭圆、黄金双曲线的几何性质
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 20:25:23
黄金椭圆、黄金双曲线的几何性质
有证明最好,没有也可以,不要简单地复制一些不能看的链接,十万火急!
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离心率e=（根号5-1）/2
双曲线离心率e=（根号5+1）/2
再问： 还有别的一些几何性质，比如垂直、相等之类的关系吗？
再答： 1）黄金椭圆的离心率 e = 2c/2a = (√5 - 1)/2
2）黄金椭圆中b²=ac，即a、b、c成等比数列（c为半焦距）
3）黄金椭圆的右顶点A(a,0)、上顶点B(0,b)和右焦点F(-c,0)构成的△ABF是直角三角形
4）黄金椭圆的四个顶点A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)构成的菱形A1B1A2B2的内切圆过焦点F1(-c,0)和F2(c,0)
5）黄金椭圆的弦 PQ 的中点为 M，若直线 PQ 与 OM 的斜率存在，则斜率之积是 -(√5 - 1)/2
6）黄金椭圆上任意一点 P 在 x 轴上的射影为 M，椭圆在 P 点的法线交 x 轴于 N，则 |ON| / |OM| = [(√5 - 1)/2 ]²，即黄金比的平方
7）黄金椭圆的准线到相应顶点的距离与长半轴长之比是(√5 - 1)/2
8）黄金椭圆上任意一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比是(√5 - 1)/2
9）以黄金椭圆中心为圆心且过椭圆焦点的圆叫焦点圆，黄金椭圆与其焦点圆的公切线的斜率的平方是(√5 - 1)/2
10）如果x²/a²+y²/b²=1是黄金椭圆，则y²/b²-x²/a²=1表示黄金双曲线
再问： 那请问黄金双曲线的几何性质可以类比吗？
双曲线离心率e=（根号5+1）/2
再问： 还有别的一些几何性质，比如垂直、相等之类的关系吗？
再答： 1）黄金椭圆的离心率 e = 2c/2a = (√5 - 1)/2
2）黄金椭圆中b²=ac，即a、b、c成等比数列（c为半焦距）
3）黄金椭圆的右顶点A(a,0)、上顶点B(0,b)和右焦点F(-c,0)构成的△ABF是直角三角形
4）黄金椭圆的四个顶点A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)构成的菱形A1B1A2B2的内切圆过焦点F1(-c,0)和F2(c,0)
5）黄金椭圆的弦 PQ 的中点为 M，若直线 PQ 与 OM 的斜率存在，则斜率之积是 -(√5 - 1)/2
6）黄金椭圆上任意一点 P 在 x 轴上的射影为 M，椭圆在 P 点的法线交 x 轴于 N，则 |ON| / |OM| = [(√5 - 1)/2 ]²，即黄金比的平方
7）黄金椭圆的准线到相应顶点的距离与长半轴长之比是(√5 - 1)/2
8）黄金椭圆上任意一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比是(√5 - 1)/2
9）以黄金椭圆中心为圆心且过椭圆焦点的圆叫焦点圆，黄金椭圆与其焦点圆的公切线的斜率的平方是(√5 - 1)/2
10）如果x²/a²+y²/b²=1是黄金椭圆，则y²/b²-x²/a²=1表示黄金双曲线
再问： 那请问黄金双曲线的几何性质可以类比吗？