作业帮各位大神哪个来帮小弟把这题解了...想了2小时硬是没想出来...
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 18:32:15
各位大神哪个来帮小弟把这题解了...想了2小时硬是没想出来...
设椭圆中心再原点,焦点在X轴上,过焦点的直线与椭圆交于P、Q两点,O是原点,若OP与OQ的向量积为0,求椭圆的离心率的范围.
..小弟刚学椭圆不是怎么熟悉...
设椭圆中心再原点,焦点在X轴上,过焦点的直线与椭圆交于P、Q两点,O是原点,若OP与OQ的向量积为0,求椭圆的离心率的范围.
..小弟刚学椭圆不是怎么熟悉...
根据条件设椭圆方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1 (a＞b).不失一般性令过的焦点为右焦点(√(a^2-b^2),0),直线斜率为k,故此直线方程为y=k[x-(√(a^2-b^2)].
联立两个方程消去y化简得：
[(ka)^2+b^2]x^2-2(ka)^2√(a^2-b^2)x+k^2a^4-k^2a^2b^2-a^2b^2=0,这是关于x的一元二次方程.两解x1、x2分别是P、Q的横坐标.经计算Δ=(k^2+1)a^2b^4＞0恒成立.
由Vieta定理知：x1+x2=2(ka)^2√(a^2-b^2)/[(ka)^2+b^2],x1x2=(k^2a^4-k^2a^2b^2-a^2b^2)/[(ka)^2+b^2].
由题意,向量OP=(x1,y1),向量OQ=(x2,y2),且x1x2+y1y2=0,即(k^2+1)x1x2-k^2√(a^2-b^2)(x1+x2)+k^2(a^2-b^2)=0.将Vieta定理x1x2、x1+x2两式带入上式化简得：
(a^4-a^2b^2-b^4)k^2-a^2b^2=0,即k^2=(ab)^2/(a^4-b^4-a^2b^2).
因为k^2＞0,所以必有a^4-b^4-a^2b^2＞0,即1-(b/a)^2-(b/a)^4＞0.解得：0＜(b/a)^2＜(√5-1)/2.
离心率e=c/a=√(a^2-b^2)/a=√[1-(b/a)^2],所以离心率的取值范围是((√5-1)/2,1).
联立两个方程消去y化简得：
[(ka)^2+b^2]x^2-2(ka)^2√(a^2-b^2)x+k^2a^4-k^2a^2b^2-a^2b^2=0,这是关于x的一元二次方程.两解x1、x2分别是P、Q的横坐标.经计算Δ=(k^2+1)a^2b^4＞0恒成立.
由Vieta定理知：x1+x2=2(ka)^2√(a^2-b^2)/[(ka)^2+b^2],x1x2=(k^2a^4-k^2a^2b^2-a^2b^2)/[(ka)^2+b^2].
由题意,向量OP=(x1,y1),向量OQ=(x2,y2),且x1x2+y1y2=0,即(k^2+1)x1x2-k^2√(a^2-b^2)(x1+x2)+k^2(a^2-b^2)=0.将Vieta定理x1x2、x1+x2两式带入上式化简得：
(a^4-a^2b^2-b^4)k^2-a^2b^2=0,即k^2=(ab)^2/(a^4-b^4-a^2b^2).
因为k^2＞0,所以必有a^4-b^4-a^2b^2＞0,即1-(b/a)^2-(b/a)^4＞0.解得：0＜(b/a)^2＜(√5-1)/2.
离心率e=c/a=√(a^2-b^2)/a=√[1-(b/a)^2],所以离心率的取值范围是((√5-1)/2,1).