求z=f(u,x,y),且u=φ（x,y）偏导数公式详细推导过程.谢谢

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/21 19:07:07

求z=f(u,x,y),且u=φ（x,y）偏导数公式详细推导过程.谢谢
根据同济版高数教材描述如下：
设u=φ（x,y）,v=ψ（x,y）,w=ω（x,y）,都在点（x,y）具有对和对的偏导数,函数z=f(u,v,w)在对应点具有连续偏导数,则复合函数
z=f[φ（x,y）,ψ（x,y）,ω（x,y）]
在点（x,y）的两个偏导数都存在,且可用下列公式计算
az/ax=az/au au/ax+az/av av/ax+az/aw aw/ax (6) （az/ax表示偏导数标记,方便输入）
az/ay=az/au au/ay+az/av av/ay+az/aw aw/ay (7)
（以上我比较清楚,下面内容就不太懂了,继续往下看）
如果z=f(u,x,y)具有连续偏导数,而u=φ（x,y）具有偏导数,则复合函数
z=f[φ（x,y）, x ,y] （8）
可看作上述情形中当v=x, w=y,的特殊情形,因此
av/ax=1, aw/ax=0 ,av/ay=0, aw/ay=1
从而复合函数（8）具有对自变量x及y的偏导数,且由公式(6)及(7)得
az/ax=af/au au/ax+af/ax （9）
az/ay=af/au au/ay+af/ay （10）
注意这里az/ax与af/ax是不同的,前者是把复合函数（8）中的y看作不变而对x偏导数,后者是把f(u,x,y)中的u及y看作不变而对x的偏导数,az/ay与af/ay也有类似的区别.
现在的问题：从公式（6）到公式（9）,结合已知条件,我不知道怎么样推导,
请求帮助：数学高手们可以给一个从公式（6）到公式（9）详细的推导过程吗?清楚的反映等式右边带有az的公式（6）怎么演变成等式右边带有af的公式（9）的.
另外注意：另外类似偏导数au/ax和导数du/dx的写法不要用f'的形式,就用现在的形式,所有中间步骤等于0的式子或值也要写出,不然我会搞混,谢谢了.

其实这是非常简单的一个东西,比如要让你算出一棵树上所有的叶子数目,那么你是不是要把所有分枝上的叶子都要数一遍?相同的道理,要求关于某一个变量的偏导数,就要把所有相关的分枝都求出来加到一起,至于每一个分枝上的偏导数,那就是一元复合函数求导数的方法了.大致的图形就相当于是一个复合链,如下

要求az/ax, 可以发现和x有关的分枝应该是两个,分别求出来再相加就行了：第一个分枝上应该等于af/au*au/ax, 第二个分枝上应该等于af/ax,因此有az/ax=af/au au/ax+af/ax 你原来的（6）式关于y的偏导数是类似的求法.
至于你说的az/ax与af/ax是不同的,这是非常容易理解的,由上面的图可以知道,这里的x应该是扮演了两个角色,既是中间变量又是最终复合函数z=f(φ（x,y), x, y)的自变量,你要求的应该是最终的复合函数z=f(φ（x,y), x, y)关于x的偏导数,所以应该是az/az,而第二个分枝里要求关于x的偏导数时,它是与上面的u地位相同的,是属于z=f(u,x,y)的自变量,当然应该是af/ax了.

求z=f(u,x,y),且u=φ（x,y）偏导数公式详细推导过程.谢谢 z=f(x/y,y/x),其中f(u,v)关于u,v具有连续偏导数,求偏导 z/x 偏导 z/y? 设u=f(x,xy,xyz),且f(u,v,w)具有一阶连续偏导数,求u对x偏导u对y偏导u对z偏导关于偏导数的一道题设函数z=f(u),其中u由方程u=φ(u)+∫ (上x下y) p(t)dt 确定为x,y的函数,且f 设函数f(u,v)具有两阶连续偏导数z=f(x^y ,y^x),求dz 方程f(y/z,z/x)=0确定z是x,y的函数,f有连续的偏导数,且f'v(u,v)≠0. 设方程f(xz,yz)=0可确定z是x,y的函数,且f(u,v）具有连续偏导数,求dz, 函数f有一阶偏导数,求它所有的偏导数.U=f(x-y,y-z,z-x) 设函数u=f(x,y,z)具有连续的一阶偏导数,其中z=z(x,y)由可微函数y=φ(x,t)及t=ψ(x,z)确定,且高数偏导数设z=xy+xF(u),而u=y/x,F(u)为可导函数,证明：x*(z对x的偏导）+y(z对y的偏导）=z 设函数u=f（x，y，z）有连续偏导数，且z=z（x，y）由方程xex-yey=zez所确定，求du．设函数z=f(u,v)具有二阶连续偏导数,z=f(x-y,y/x),求a^2z/axay