已知abcd满足a+b=c+d,a^3+b^3=c^3+d^3,求证:a^2001+b^2001=c^2001+d^20
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 08:54:17
已知abcd满足a+b=c+d,a^3+b^3=c^3+d^3,求证:a^2001+b^2001=c^2001+d^2001
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a+b=c+d,
a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=(a+b)[(a+b)^2-3ab]
c^3+d^3=(c+d)(c^2+d^2-cd)=(c+d)[(c+d)^2-3cd]
因为,a^3+b^3=c^3+d^3,
所以,(a+b)[(a+b)^2-3ab]=(c+d)[(c+d)^2-3cd]
所以,ab=cd
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(c+d)^2-2cd=c^2+d^2
下面使用归纳法:
设:a^n+b^n=c^n+d^n在n≥1时都成立
则:a^(n+1)+b^(n+1)
=(a^n+b^n)(a+b)-(a^nb+ab^n)
=(a^n+b^n)(a+b)-ab(a^(n-1)+b^(n-1))
=(c^n+d^n)(c+d)-cd(c^(n-1)+d^(n-1))
=c^(n+1)+d^(n+1)
所以,若a^n+b^n=c^n+d^n在n≥1时都成立,那么,a^(n+1)+b^(n+1)=c^(n+1)+d^(n+1)也成立
所以,a^n+b^n=c^n+d^n对所有n∈N成立,
所以,a^2001+b^2001=c^2001+d^2001
a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=(a+b)[(a+b)^2-3ab]
c^3+d^3=(c+d)(c^2+d^2-cd)=(c+d)[(c+d)^2-3cd]
因为,a^3+b^3=c^3+d^3,
所以,(a+b)[(a+b)^2-3ab]=(c+d)[(c+d)^2-3cd]
所以,ab=cd
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(c+d)^2-2cd=c^2+d^2
下面使用归纳法:
设:a^n+b^n=c^n+d^n在n≥1时都成立
则:a^(n+1)+b^(n+1)
=(a^n+b^n)(a+b)-(a^nb+ab^n)
=(a^n+b^n)(a+b)-ab(a^(n-1)+b^(n-1))
=(c^n+d^n)(c+d)-cd(c^(n-1)+d^(n-1))
=c^(n+1)+d^(n+1)
所以,若a^n+b^n=c^n+d^n在n≥1时都成立,那么,a^(n+1)+b^(n+1)=c^(n+1)+d^(n+1)也成立
所以,a^n+b^n=c^n+d^n对所有n∈N成立,
所以,a^2001+b^2001=c^2001+d^2001
已知abcd满足a+b=c+d,a^3+b^3=c^3+d^3,求证:a^2001+b^2001=c^2001+d^20
已知:a/b=c/d,求证:(2a+3b)/(a+b)=(2c+3d)/(c+d)
已知a/b=c/d,求证2a+3b/a+b=2c+3d/c+d
设a,b,c满足ab+bc+cd+da=1,求证:a^3/(b+c+d)+b^3/(a+c+d)+c^3/(a+b+d)
已知a:b=c:d,求证(a+c):(a-c)=(b+d):(b-d)
已知实数a,b,c,d满足下列条件 1、d>c2、a+b=c=3、a+d
已知四个数a,b,c,d满足a:b:c:d=1:2:3:4,且a^3+b^3+c^3+d^3=abcd,求a+b+c+d
已知向量a+b+c+d=0,求证|a|+|b|+|c|+|d| >=|a+d|+|b+d|+|c+d|.
已知a/b=c/d,求证a+2b/b=c+2d/d
已知a/b=c/d,求证:(3a+2c)/(3a-2c)=(3b+2d)/(3b-2d)
实数a,b,c,d满足d>c;a+b=c+d;a+d
设正整数a,b,c,d满足条件a/b=b/c=c/d=3/8,求a+b+c+d的最小值