作业帮求一道高中数学求轨迹方程题的细节问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 18:56:25
求一道高中数学求轨迹方程题的细节问题
经过原点的直线l与圆x^2+y^2-6x-4y+9=0相交于两个不同点A,B求线段AB的中点M的轨迹方程.
最后我算出M（(3+2k)/(1+k^2),(3k+2k^2)/(1+k^2)）为什么不能说M轨迹就是y=kx?
还有M轨迹的取值范围怎么求?
经过原点的直线l与圆x^2+y^2-6x-4y+9=0相交于两个不同点A,B求线段AB的中点M的轨迹方程.
最后我算出M（(3+2k)/(1+k^2),(3k+2k^2)/(1+k^2)）为什么不能说M轨迹就是y=kx?
还有M轨迹的取值范围怎么求?
解释：M只是动直线y=kx上的一个点(它不能代表直线）,当直线运动时,M随之移动,从而产生了M的轨迹.由于k是参数（变量）,不能说y=kx是M的轨迹,只能说M的坐标适合y=kx.
还有,本题用“点差法”较为简单.设直线方程为 y=kx
设 M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1≠x2
则x1+x2=2x,y1+y2=2y,且
x1^2+y1^2-6x1-4y1+9=0 （1）
x2^2+y2^2-6x2-4y2+9=0 （2）
（2）-（1）,得
(x2-x1)(x1+x2)+(y2-y1)(y1+y2)-6(x2-x1)-4(y2-y1)=0
两边同除以x2-x1,得
x1+x2 +(y1+y2) (y2-y1)/(x2-x1)-6 -4(y2-y1)/(x2-x1)=0
即 2x+2ky -6-4k=0
而M在直线y=kx上,所以 k=y/x (x≠0)
从而 2x+2y^2/x -6 -4y/x=0
x^2 +y^2 -3x-2y=0
再问： 能不能帮我算下M的范围，我看到好多人算的都不一样
再答： 算纵坐标的好些。M的轨迹是圆x^2 +y^2 -3x-2y=0被已知圆截得的一段弧。 易知已知圆x^2+y^2-6x-4y+9=0与x轴相切（切点为A），从而 y≥0， 由于直线l与圆有两个交点，所以 y>0 过原点作圆的另一条切线，设切点为B，两个切点关于直线2x-3y=0对称 从而可求得B的纵坐标为36/13， 所以 0
还有,本题用“点差法”较为简单.设直线方程为 y=kx
设 M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1≠x2
则x1+x2=2x,y1+y2=2y,且
x1^2+y1^2-6x1-4y1+9=0 （1）
x2^2+y2^2-6x2-4y2+9=0 （2）
（2）-（1）,得
(x2-x1)(x1+x2)+(y2-y1)(y1+y2)-6(x2-x1)-4(y2-y1)=0
两边同除以x2-x1,得
x1+x2 +(y1+y2) (y2-y1)/(x2-x1)-6 -4(y2-y1)/(x2-x1)=0
即 2x+2ky -6-4k=0
而M在直线y=kx上,所以 k=y/x (x≠0)
从而 2x+2y^2/x -6 -4y/x=0
x^2 +y^2 -3x-2y=0
再问： 能不能帮我算下M的范围，我看到好多人算的都不一样
再答： 算纵坐标的好些。M的轨迹是圆x^2 +y^2 -3x-2y=0被已知圆截得的一段弧。 易知已知圆x^2+y^2-6x-4y+9=0与x轴相切（切点为A），从而 y≥0， 由于直线l与圆有两个交点，所以 y>0 过原点作圆的另一条切线，设切点为B，两个切点关于直线2x-3y=0对称 从而可求得B的纵坐标为36/13， 所以 0