一道一元二次函数题具体如下已知抛物线 y=ax²+bx+c 与y轴交于点C,与X轴交于点A（X1,0）、B（X

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 06:35:23

一道一元二次函数题
具体如下
已知抛物线 y=ax²+bx+c 与y轴交于点C,与X轴交于点A（X1,0）、B（X2,0）（X1＜X2） ,顶点M的纵坐标为－3,若X1、X2是关于X的方程 X²+（m+1）X+m²-12=0 （其中m＜0）的两个根,且X1²+X2平方=10
（1）求A、B两点的坐标
（2）求抛物线的解析式及点C的坐标
（3）在抛物线上是否存在点P,使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍?若存在,求出所有符合条件的点的坐标,若不存在,请说明理由.
不要只有答案 .

X1、X2是关于X的方程 X²+（m+1）X+m²-12=0 ,根据韦达定理,有
x1+x2=-（m+1）,x1*x2=m^2-12,又x1^2+x2^2=10,
(x1+x2)^2=x1^2+x2^2+2x1*x2
将上述代入,(m+1)^2=10+2(m^2-12)
解得m1=-3,m2=5(舍弃)
所以上式变成,x1+x2=2,x1*x2=-3,联立解得（X1＜X2）
x1=-1,x2=3
1、两坐标为A(-1,0) B(3,0）
2、因为A、B两点为方程的两个根,所以方程可设为y=a(x+1)(x-3),其对称轴为(-1+3)/2=1,
所以顶点坐标为m(1,-3),将其代入方程,有
-3=a*(1+1)(1-3)
解得a=3/4
所以解析式为y=3/4(x+1)(x-3)=3/4x^2-3/2x-9/4,所以C(0,-9/4)
3、连接BC,求四边形的面积=三角形ABC+三角形BCM
过C点做y轴垂线交BM于D点,三角形BCM的面积=三角形BDC+三角形CDM,
求直线BM的方程为y=3/2-9/2,与y=-9/4的交点为D点,此时坐标为D(3/2,-9/4)
所以CD=3/2
三角形BCM的面积=三角形BDC+三角形CDM=1/2*3/2*9/4+1/2*3/2*3/4=9/4
所以四边形的面积=9/4+9/2=27/4,
当存在p点时,这是有三角形PAB的面积=四边形ACMB的面积的2倍=27/2
设p(x,y)
则三角形的面积为1/2*4*(y的绝对值）
解得y=27/4
代入一元二次方程,用万能公式解得
解得x1=1+根号22 x2=1-根号22

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