用三重积分求由 x^2-2x+y^2=0,z=(x^2+y^2)/2,与z=0所围成的立体体积.本人数学不好,麻烦帮我画

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 12:47:13

用三重积分求由 x^2-2x+y^2=0,z=(x^2+y^2)/2,与z=0所围成的立体体积.本人数学不好,麻烦帮我画出图.
不好意思啊，我总分不多。

本题图很难画,事实上不画图也是可以做的.x^2-2x+y^2=0是一个圆柱,母线平行于z轴,与xOy面交出一个圆,(x-1)²+y²=1,(平面图自己画）
z=(x^2+y^2)/2是一个旋转抛物面（不是楼上说的圆锥,如果z也带平方才是圆锥）,这个图形在圆柱内被截成什么样子,很难画,也不需要画,你只要知道,它投影到xOy面上就是(x-1)²+y²=1就够了.
这样我们知道,这个立体的底面是z=0平面,底是z=(x^2+y^2)/2,侧面是(x-1)²+y²=1,够了,不用画图.
∫∫∫ 1 dV=∫∫ ∫[0-->(x²+y²)/2] 1dz dxdy 二重积分的区域为D：(x-1)²+y²=1
=∫∫ (x²+y²)/2 dxdy
二重积分就容易了,用极坐标
=1/2∫∫ r²r drdθ
下面r的范围有点麻烦,因为这个圆的圆心不在原点,教你个简单点的办法
x²-2x+y²=0化为极坐标方程就行了,r²-2rcosθ=0得r=2cosθ
则θ的范围是：0≤r≤2cosθ
=1/2∫[-π/2,π/2] ∫ [0-->2cosθ] r³ dr dθ
=1/8∫[-π/2,π/2] r⁴ |[0-->2cosθ] dθ
=2∫[-π/2,π/2] cos⁴θ dθ
=4∫[0,π/2] cos⁴θ dθ
=∫[0,π/2] (1+cos2θ)² dθ
=∫[0,π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ
=∫[0,π/2] (1+2cos2θ+1/2+1/2cos4θ) dθ
=(π/2)*(3/2)
=3π/4
再问：你好，我不明白“投影到xOy面上就是(x-1)²+y²=1”。根据你的上文，我理解的所围成的体积是旋转抛物面把圆柱给截掉了，即圆柱不是完整的了，为什么投影还是圆柱的投影？我现在做空间中两个曲面相交的题时，老是搞不清哪个曲面包含另一曲面（即哪个曲面大，哪个曲面小）。请指教，谢谢了。
再答：你说的对，是旋转抛物面把圆柱给截了。截成什么样子了呢？你脑子里想象一个圆柱，然后顶面被一个曲面一截，所以顶部是不完整的，弯弯曲曲的，但是侧面依然是圆柱面(有一个位置缩成一个点了，不过不影响投影)，所以它投影到xOy面后，还会是一个圆。我们现在需要的就是截出的这个东西在xOy面的投影。见下图：能看出来吗，截剩下的部分投影还是圆。 http://hiphotos.baidu.com/qingshi0902/pic/item/5ea01d84d143ad4b84ba4f7982025aafa50f0613.jpg

用三重积分求由 x^2-2x+y^2=0,z=(x^2+y^2)/2,与z=0所围成的立体体积.本人数学不好,麻烦帮我画求由曲面z=x^2+y^2,z=4-y^2所围立体的体积,用三重积分利用三重积分计算由下列各曲面所围立体的体积.球面x^2+y^2+z^2=2（z>=0),平面z= 三重积分求由柱面x=y^2,平面z=0及x+z=1所围成的立体利用三重积分计算由曲面z= √(x^2+y^2),z=x^2+y^2所围成的立体体积用三重积分求曲面z=2-(x^2+y^2)与z=X^2+y^2所围立体体积用二重积分或三重积分计算曲面z=√x^2+y^2及z=x^2+y^2所围成的立体体积. 三重积分计算由曲面Z=(X^2+Y^2)^0.5和曲面Z=(X^2+Y^2)所围成的立体体积的三次积分!写出积分表达式就计算由曲面z=1-x^2-y^2与z=0所围成的立体体积利用三重积分计算下列立体的体积由抛物面z=2-x^2-y^2及圆锥面z=√x^2+y^2所围成设∑是由旋转抛物面z=x^2+y^2,平面z=0及平面z=1所围成的区域,求三重积分∫∫∫(x^2+y^2+z)dxdy 三重积分求Z=√(X^2+Y^2)与Z=6-X^2-Y^2围成的体积,