作业帮谁帮我做做这道高数题啊?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 12:27:42
谁帮我做做这道高数题啊?
设函数f（x）在R内连续且｛F（x）=（x-2t）f（x）dt的从0到x的积分｝证明：
（1）、若f（x）为偶函数,则F（x）也为偶函数.
（2）、当x>0时,若f（x）单增,则F（x）单减.
由于F（x）那个积分打不出来所以用语言叙述了一下,
设函数f（x）在R内连续且｛F（x）=（x-2t）f（x）dt的从0到x的积分｝证明：
（1）、若f（x）为偶函数,则F（x）也为偶函数.
（2）、当x>0时,若f（x）单增,则F（x）单减.
由于F（x）那个积分打不出来所以用语言叙述了一下,
(1)已知f(-x)=f(x)
F(x)=∫(0～x)(x-2t)f(t)dt
F(-x)=∫(0～-x)(-x-2t)f(t)dt=∫(0～x)(x+2t)f(t)dt
令u=-t,dt=-du,F(-x)=∫(0～x)(x-2u)f(-u)d(-u)=∫(0～x)(x-2u)f(u)du
所以F(x)=F(-x) 所以F(x)是偶函数
(2)F'(x)＝∫(0～x) f(t)dt＋xf(x)－2xf(x)＝∫(0～x) f(t)dt－xf(x)
F'(0)＝0
F''(x)＝－xf'(x)
当x＞0时,f(x)单调增加,则f'(x)>0,
所以x＞0时,F''(x)
F(x)=∫(0～x)(x-2t)f(t)dt
F(-x)=∫(0～-x)(-x-2t)f(t)dt=∫(0～x)(x+2t)f(t)dt
令u=-t,dt=-du,F(-x)=∫(0～x)(x-2u)f(-u)d(-u)=∫(0～x)(x-2u)f(u)du
所以F(x)=F(-x) 所以F(x)是偶函数
(2)F'(x)＝∫(0～x) f(t)dt＋xf(x)－2xf(x)＝∫(0～x) f(t)dt－xf(x)
F'(0)＝0
F''(x)＝－xf'(x)
当x＞0时,f(x)单调增加,则f'(x)>0,
所以x＞0时,F''(x)