在区间[a,b]上,若f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0,则(b-a)f(a)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 09:43:10

1.证明任取(a,b)上一点x,f(x)<[(x-a)f(a)+(b-x)f(b)]/(b-a)：
首先由Lagrange定理知f(x)-f(a)=(x-a)f'(x1),x1为(a,x)上一点.
同样地,f(b)-f(x)=(b-x)f'(x2),x2为(x,b)上一点.
由在[a,b]上f''(x)>0知f'(x2)>f'(x1).(f(x)-f(a))/(x-a)<(f(b)-f(x))/(b-x).
所以(f(x)-f(a))(b-x)<(f(b)-f(x))(x-a),f(x)<[(x-a)f(a)+(b-x)f(b)]/(b-a).
这意味着什么呢……请看图.
接下来只要证明上面那块面积不为0就行了.
若在[a,b]上g(x)连续,(a,b)上g(x)>0,则)∫a,bg(x)dx>0.
因为任取(a,b)上一点x1,f(x1)=a>0,则由f(x)在[a,b]上连续知存在δ>0,在[x1-δ,x1+δ]上,f(x)>a/2.
所以∫a,bg(x)dx>=aδ>0.
在本题中,g(x)=[(x-a)f(a)+(b-x)f(b)]/(b-a)-f(x).
所以∫a,bf(x)dx<(b-a)[f(a)+f(b)]/2.
同样地,由f'(x)>0知在(a,b]上,f(x)>f(a),于是∫a,bf(x)dx>(b-a)f(a).

再问： f(x)0这一条，你可以证明f(x)是凸函数了。f(x)

在区间[a,b]上,若f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0,则(b-a)f(a) 证明:在区间[a,b]上,若f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0,则(b-a)f(a) 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b)>0,f(a)f[(a+b)/2]0,f(a)f[(a 设偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数(a>0),判断F(x)=(1/2)^f(x)-x 在区间[-b,-a]上的单若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)可导,如果在(a,b)内f'(x)>0,则f(x)在[a,b] 设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且f'(a)f'(b)>0试证明设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有二阶导数,且f"(x)＞0,证明∫(a,b)f(x)dx＞f( 若在区间(a,b)内,函数f(x)的一阶导数f'(x)>0,二阶导数f''(x) 若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,|f'(x)|小于等于M,f(a)=0,求证:f(x)dx在[a,b] 导数题函数f(x)的导函数为f′(x) 若f(x)在区间(a ,b)内有f′(x)>0.且f(a)≥0 f(x)则在( 已知函数f(X)在区间【a,b】上单调递增,且f（a）乘以f（b）小于0,则方程f（x）=0,则在区间【a,b】上有已知函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,且f(a)f(b)＜0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上的根的个数是_