作业帮帮忙证明一道大一新生的高数证明题!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 07:58:27
帮忙证明一道大一新生的高数证明题!
设映射X→Y,A∈X,B∈X,证明：
1、f(A∪B）=f(A)∪f(B)
2、f(A∩B）（包含于）f(A)∩f(B)
最好有严谨的过程,
设映射X→Y,A∈X,B∈X,证明：
1、f(A∪B）=f(A)∪f(B)
2、f(A∩B）（包含于）f(A)∩f(B)
最好有严谨的过程,
1、任取y∈f(A∪B）,则存在x∈A∪B,使得y＝f(x).
x∈A∪B,则x∈A或x∈B,所以y∈f(A)或y∈f(B). 所以,y∈f(A)∪f(B)
所以,f(A∪B)包含于f(A)∪f(B)
任取y∈f(A)∪f(B）,则y∈f(A)或y∈f(B).
若y∈f(A),则存在x∈A,使得y＝f(x). 因为A包含于A∪B,所以y＝f(x)∈f(A∪B).同理,如果y∈f(B),则y∈f(A∪B). 所以,y∈f(A∪B).
所以,f(A)∪f(B)包含于f(A∪B)
所以,f(A∪B)＝f(A)∪f(B)
2、任取y∈f(A∩B）,则存在x∈A∩B,使得y＝f(x).
x∈A∩B,则x∈A且x∈B,所以y∈f(A)且y∈f(B). 所以,y∈f(A)∩f(B)
所以,f(A∩B)包含于f(A)∩f(B)
x∈A∪B,则x∈A或x∈B,所以y∈f(A)或y∈f(B). 所以,y∈f(A)∪f(B)
所以,f(A∪B)包含于f(A)∪f(B)
任取y∈f(A)∪f(B）,则y∈f(A)或y∈f(B).
若y∈f(A),则存在x∈A,使得y＝f(x). 因为A包含于A∪B,所以y＝f(x)∈f(A∪B).同理,如果y∈f(B),则y∈f(A∪B). 所以,y∈f(A∪B).
所以,f(A)∪f(B)包含于f(A∪B)
所以,f(A∪B)＝f(A)∪f(B)
2、任取y∈f(A∩B）,则存在x∈A∩B,使得y＝f(x).
x∈A∩B,则x∈A且x∈B,所以y∈f(A)且y∈f(B). 所以,y∈f(A)∩f(B)
所以,f(A∩B)包含于f(A)∩f(B)