作业帮设x,y,z,w是非零实数,求(xy+2yz+zw)/(x^2+y^2+z^2+w^2)的最大值.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 17:18:07
设x,y,z,w是非零实数,求(xy+2yz+zw)/(x^2+y^2+z^2+w^2)的最大值.
本题解法较多,以下举二个解法：
解法一：
设α、β、γ>0,
则依基本不等式得
α²x²+y²≥2αxy,
β²y²+z²≥2βyz,
γ²z²+ω²≥2γzω.
∴xy+2yz+zω
≤(α/2)x²+(1/2α+β)y²+(1/β+γ/2)z²+(1/2γ)ω².
令α/2＝1/2α+β＝1/β+γ/2＝1/2γ,
解得,α＝√2+1.
∴(xy+2yz+zω)/(x²+y²+z²+ω²)≤(√2+1)/2.
而取等时,有x＝ω＝1,y＝ω＝√2+1.
故所求最大值为：(√2+1)/2.
解法二：
依柯西不等式得
xy+2yz+zω
＝(xy+zω)+(yz-xω)+(yz+xω)
≤√2·√[(xy+zω)²+(yz-xω)²]+√[(y²+x²)(z²+ω²)]
＝√2·√[(x²+z²)(y²+ω²)]+√[(y²+x²)(z²+ω²)]
＝√2·[(x²+z²)+(y²+ω²)]/2+[(x²+y²)+(z²+ω²)]/2
＝[(√2+1)/2]·(x²+y²+z²+ω²)
∴(xy+2yz+zω)/(x²+y²+z²+ω²)≤(√2+1)/2.
故所求最大值为：(√2+1)/2.
此外,还可用判别式法等解答.
解法一：
设α、β、γ>0,
则依基本不等式得
α²x²+y²≥2αxy,
β²y²+z²≥2βyz,
γ²z²+ω²≥2γzω.
∴xy+2yz+zω
≤(α/2)x²+(1/2α+β)y²+(1/β+γ/2)z²+(1/2γ)ω².
令α/2＝1/2α+β＝1/β+γ/2＝1/2γ,
解得,α＝√2+1.
∴(xy+2yz+zω)/(x²+y²+z²+ω²)≤(√2+1)/2.
而取等时,有x＝ω＝1,y＝ω＝√2+1.
故所求最大值为：(√2+1)/2.
解法二：
依柯西不等式得
xy+2yz+zω
＝(xy+zω)+(yz-xω)+(yz+xω)
≤√2·√[(xy+zω)²+(yz-xω)²]+√[(y²+x²)(z²+ω²)]
＝√2·√[(x²+z²)(y²+ω²)]+√[(y²+x²)(z²+ω²)]
＝√2·[(x²+z²)+(y²+ω²)]/2+[(x²+y²)+(z²+ω²)]/2
＝[(√2+1)/2]·(x²+y²+z²+ω²)
∴(xy+2yz+zω)/(x²+y²+z²+ω²)≤(√2+1)/2.
故所求最大值为：(√2+1)/2.
此外,还可用判别式法等解答.
设x,y,z,w是非零实数,求(xy+2yz+zw)/(x^2+y^2+z^2+w^2)的最大值.
若x,y,z,w是不全为零的实数,求xy+2yz+zw/x^2+y^2+z^2+w^2的最小值
设xyz是非零实数求|x|/x+|y|/y+|z|/z+|xy|/xy+|xz|/xz+|yz|/yz+|xyz|/xy
x,y,z是三个不全为0的实数,求（xy+2yz)/(x+y+z)的最大值
xyz都是正实数,求xy+yz/x^2+y^2+z^2的最大值.
若x、y、z均为正实数,则（ xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)的最大值是多少?
已知：X,Y,Z均大于0且小于1,X+Y+Z=2,W=XY+YZ+XZ,求W的取值范围?
设x,y,z是非零实数,且x^2+4y^2+z^2-3xy=2z根号(xy),则x+y+z/2z-x的值等于?
x.y.z为实数,且满足x^2-yz-8x+7=0及y^2+z^2+yz-6x+6=0,求三元函数W=xy+yz+zx最
已知X,Y,Z属于正实数,求(XY+2YZ)/(x^2+y^2+z^2)的最大值的具体解题步骤
比1小的三个正数x,y,z的和是2,设w=xy+yz+xz,则w的取值范围是:
一道不等式题在线等比1小的3个正数x,y,z的和为2,设w=xy+yz+zx,则w取值