作业帮一道数学难题 要简单的回答
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 18:19:58
一道数学难题 要简单的回答
关于x的函数f(x)=(-1/3)x^3+bx^2+cx+bc,其导函数是f'（x）.令g(x)=|f'(x)|,记g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M
1）如果函数f(x)在x=1处有极值-4/3,试确定b、c的值；
2）若|b|>1,证明对任意的c,都有M>2；
3）若M≥K对任意的b、c恒成立,试求K的最大值；
明天要！
关于x的函数f(x)=(-1/3)x^3+bx^2+cx+bc,其导函数是f'（x）.令g(x)=|f'(x)|,记g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M
1）如果函数f(x)在x=1处有极值-4/3,试确定b、c的值；
2）若|b|>1,证明对任意的c,都有M>2；
3）若M≥K对任意的b、c恒成立,试求K的最大值；
明天要！
(1)f(x)=(-1/3)x^3+bx^2+cx+bc
求导得f'(x）=-x^2+2bx+c,则
f(1)=-1/3+b+c+bc=-4/3①,
f'(1）=-1+2b+c=0②,
联立①②解得 b=1,c=-1或者b=-1,c=3
(2)证明：
由g(x)=|f'(x)|=|-x^2+2bx+c|,而f'(x）=-x^2+2bx+c的对称轴x=b,由于
|b|>1,则对称轴在区间[-1,1]之外,所以
当b>1时,f'(x）在区间[-1,1]上为增函数,f'(x）max=f'(1）=-1+2b+c,f'(x）min=f'(-1）=-1-2b+c
当b1时,f'(x）在区间[-1,1]上为减函数,f'(x）max=f'(-1）=-1-2b+c,f'(x）min=f'(1）=-1+2b+c
所以|b|>1时,g(x)max=|f'(x)|max=|-1+2b+c|或者|-1-2b+c|=M
因为上述两种情形的最大值有可能同时取到的
则有2M>=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|>=|(-1+2b+c)-(-1-2b+c)|=4|b|>4*1=4
所以M>2,从而获证.
(3)若M≥K对任意的b、c恒成立,则
由g(x)=|f'(x)|=|-x^2+2bx+c|,而f'(x）=-x^2+2bx+c的对称轴x=b,
则f'(-b）=b^2+c
g(x)max=|f'(x)|max=M,由函数f'(x)的连续性,可知M一定是|f'(1）|、|f'(-1）|、|f'(-b）|三者中的一个,因此
4M>=|f'(1）|+|f'(-1）|+2*|f'(-b）|
=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|+2|b^2+c|
=(|-1+2b+c|+|b^2+c|)+(|-1-2b+c|+|b^2+c|)
>=|(-1+2b+c)-(b^2+c)|+|(-1-2b+c)-(b^2+c)|
=|(b-1)^2|+|(b+1)^2|
=(b-1)^2+(b+1)^2
=2b^2+2
>=2
所以M>=1/2
而M≥K
所以Kmax=1/2
求导得f'(x）=-x^2+2bx+c,则
f(1)=-1/3+b+c+bc=-4/3①,
f'(1）=-1+2b+c=0②,
联立①②解得 b=1,c=-1或者b=-1,c=3
(2)证明：
由g(x)=|f'(x)|=|-x^2+2bx+c|,而f'(x）=-x^2+2bx+c的对称轴x=b,由于
|b|>1,则对称轴在区间[-1,1]之外,所以
当b>1时,f'(x）在区间[-1,1]上为增函数,f'(x）max=f'(1）=-1+2b+c,f'(x）min=f'(-1）=-1-2b+c
当b1时,f'(x）在区间[-1,1]上为减函数,f'(x）max=f'(-1）=-1-2b+c,f'(x）min=f'(1）=-1+2b+c
所以|b|>1时,g(x)max=|f'(x)|max=|-1+2b+c|或者|-1-2b+c|=M
因为上述两种情形的最大值有可能同时取到的
则有2M>=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|>=|(-1+2b+c)-(-1-2b+c)|=4|b|>4*1=4
所以M>2,从而获证.
(3)若M≥K对任意的b、c恒成立,则
由g(x)=|f'(x)|=|-x^2+2bx+c|,而f'(x）=-x^2+2bx+c的对称轴x=b,
则f'(-b）=b^2+c
g(x)max=|f'(x)|max=M,由函数f'(x)的连续性,可知M一定是|f'(1）|、|f'(-1）|、|f'(-b）|三者中的一个,因此
4M>=|f'(1）|+|f'(-1）|+2*|f'(-b）|
=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|+2|b^2+c|
=(|-1+2b+c|+|b^2+c|)+(|-1-2b+c|+|b^2+c|)
>=|(-1+2b+c)-(b^2+c)|+|(-1-2b+c)-(b^2+c)|
=|(b-1)^2|+|(b+1)^2|
=(b-1)^2+(b+1)^2
=2b^2+2
>=2
所以M>=1/2
而M≥K
所以Kmax=1/2