把20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不小于它的编号数,则不同的方法共有多少种?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 11:54:33

把20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不小于它的编号数,则不同的方法共有多少种?
我知道有答案是120种.可是我自己的理解是先在20个球中选一个放1号,选两个放2号,选三个放3号,这样就还剩下14个球,每个球都有三种机会,这样就有14^3种……这样的话就有N种可能性了……这种想法哪里有问题……

你这么想是对的,
但是14^3你这么算是和对沾不上边的.3^14次方我还可以理解,14^3是怎么回事?
即使是3^14次方,还是有问题,因为有重复的,而且重复的很多,非常多……
正确的解法是插空法
假设把14个球排一排,14个球共有13个空隙,加上两头的,有15个空,
现在可转化为将三个小盒插入15 个空档的排列数.对应关系是:以插入
两个空档的小盒之间的小球个数,表示右侧空档上的小盒所装有小球数,
最左侧的空档可以同时插入两个小盒.而其余空档只可插入一个小盒,
最右侧空档必插入小盒于是,若有两个小盒插入最左侧空档,有
C（2,3）种; 若恰有一个小盒插入最左侧空档,有C（1,3）C（1,3）种;
若没有小盒插入最左侧空档,有C（2,13）种,由加法原理,有
N=C（2,3）+C（1,3）C（1,3）+C（2,13）=120 种排列方案,即有120 种放法