高二数学题：关于任意角的三角函数,均值不等式,不等关系,不等

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 14:27:27

解题思路： 2x^2-3x-2=0, (2X+1)(X-2)=0, X1=-1/2,X2=2, 则cosC=-1/2, C=120度, cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/2. (a+b)^2-c^2=ab, (a+b+c)(a+b-c)=ab, 令,Y=a+b+c,有 Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c), 要使Y最小,c就必须最小,则a,b就必须有最大值. a+b≥2√ab,(a>0,b>0,)当且仅当a=b时,ab有最大值,即a+b=10=2a,a=5. cosC=cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab, c^2=2*5^2-2*5*5*(-1/2)=25*3, c=5√3. Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c), =25/(10-5√3)=10+5√3. 三角形ABC周长的最小值为:10+5√3.
解题过程：
方法1 2x^2-3x-2=0,
(2X+1)(X-2)=0,
X1=-1/2,X2=2,
则cosC=-1/2,
C=120度,
cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/2.
(a+b)^2-c^2=ab,
(a+b+c)(a+b-c)=ab,
令,Y=a+b+c,有
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
要使Y最小,c就必须最小,则a,b就必须有最大值.
a+b≥2√ab,(a>0,b>0,)当且仅当a=b时,ab有最大值,即a+b=10=2a,a=5.
cosC=cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab,
c^2=2*5^2-2*5*5*(-1/2)=25*3,
c=5√3.
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
=25/(10-5√3)=10+5√3.
三角形ABC周长的最小值为:10+5√3.
方法2
2x^2-3x-2=0即(2x+1)(x-2)=0得x1=-1/2,x2=2,显然cosC=-1/2,
余弦定理：c^2=a^2+b^2-2abcosC=(a+b)^2-2ab+ab=100-ab
要使周长最小即c最小,则ab最大,由基本不等式ab≦25,则c≧5√3
则周长最小值为10+5√3

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