作业帮如何用数学归纳法证明这个不等式?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 07:06:09
如何用数学归纳法证明这个不等式?
n^3 < 当n大于等于6的时候
请给出完整解答!
xuzhouliuying 大哥:
有一段我没看懂，请问这个是如何得出的?
(k+1)!-(k+1)^3
>(k+1)k^3-k^3-3k^2-3k-1
n^3 < 当n大于等于6的时候
请给出完整解答!
xuzhouliuying 大哥:
有一段我没看懂，请问这个是如何得出的?
(k+1)!-(k+1)^3
>(k+1)k^3-k^3-3k^2-3k-1
证：
n=6时,
6^3=216
6!=720
6^3(k+1)k^3-k^3-3k^2-3k-1
=k^4-3k^2-3k-1
=(k^4-1)-3k(k+1)
=(k^2+1)(k+1)(k-1)-3k(k+1)
=(k+1)[(k^2+1)(k-1)-3k]
=(k+1)(k^3-k^2+k-1-3k)
=(k+1)(k^3-k^2-2k-1)
=(k+1)(k^3-2k^2+k^2-2k-1)
=(k+1)[k^2(k-2)+k(k-2)-1]
=(k+1)[k(k-2)(k+1)-1]
k≥6 k-2≥4 k+1≥7
k(k-2)(k+1)≥6*4*7>1
k(k-2)(k+1)-1>0
k+1>0
(k+1)[k(k-2)(k+1)-1]>0
(k+1)!-(k+1)^3>0
(k+1)^3
n=6时,
6^3=216
6!=720
6^3(k+1)k^3-k^3-3k^2-3k-1
=k^4-3k^2-3k-1
=(k^4-1)-3k(k+1)
=(k^2+1)(k+1)(k-1)-3k(k+1)
=(k+1)[(k^2+1)(k-1)-3k]
=(k+1)(k^3-k^2+k-1-3k)
=(k+1)(k^3-k^2-2k-1)
=(k+1)(k^3-2k^2+k^2-2k-1)
=(k+1)[k^2(k-2)+k(k-2)-1]
=(k+1)[k(k-2)(k+1)-1]
k≥6 k-2≥4 k+1≥7
k(k-2)(k+1)≥6*4*7>1
k(k-2)(k+1)-1>0
k+1>0
(k+1)[k(k-2)(k+1)-1]>0
(k+1)!-(k+1)^3>0
(k+1)^3