作业帮传递过程原理-不可压缩流体的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/05 04:16:09
传递过程原理-不可压缩流体的问题
设不可压缩牛顿流体在无限长同轴圆柱面间由轴向压力梯度驱动,已知两圆柱的半径分别为a和b,轴向压力梯度α是常数且不随时间变化,不计外力,求该流动的速度分布和管壁上的粘性剪应力.
设不可压缩牛顿流体在无限长同轴圆柱面间由轴向压力梯度驱动,已知两圆柱的半径分别为a和b,轴向压力梯度α是常数且不随时间变化,不计外力,求该流动的速度分布和管壁上的粘性剪应力.
由问题可知,在管中流体只有沿着轴向z的速度V.连续性方程：Si*Vi=Sj*Vj 可知,流体在如题所述模型中速度函数V恒定,不随时间t和位置z改变.即：（偏微分）dV/dt=0,dV/dz=0.
由N-S方程组柱坐标形式：由于Vr和Vθ均为0,那么方程简化为：（偏微分）1/r*dV/dr+d2V/dr2=α/μ
μ为粘度,这个方程的解为轴向速度V沿着径向的分布函数:V(r)=α/μ*r^2/4+C1+C2*lg(r)
边界条件：r=a,V=0和r=b,V=0.代入计算常数C1和C2,最终：
V(r)=α/μ*r^2/4+α*(b^2*lg(a^2/b)-a^2*lg(a))/(4μ*lg(a/b))+α*(b^2-a^2)/(4μ*lg(a/b))*lg(r)
这是一个类抛物线的图像.流体在管中的流速分布用V(r)可以完全表示出来.
注意上面是柱坐标系,画图像的时候要注意.
又牛顿内摩擦力τ=μ*v=μ*dV/dr.题目所求即为r→a,r→b时τ的值.
dV/dr=α/μ*r/2+α*(b^2-a^2)/(4μ*lg(a/b))/(r*ln(10))；
故当r=a时,τ(a)=μ*(α*a/2μ+α*(b^2-a^2)/(4μ*lg(a/b))/(a*ln(10)))
当r=b时,τ(b)=μ*(α*b/2μ+α*(b^2-a^2)/(4μ*lg(a/b))/(b*ln(10)))
即为管内壁收到的粘性剪切力.上示意图,彩图为流速的模拟图.
由N-S方程组柱坐标形式：由于Vr和Vθ均为0,那么方程简化为：（偏微分）1/r*dV/dr+d2V/dr2=α/μ
μ为粘度,这个方程的解为轴向速度V沿着径向的分布函数:V(r)=α/μ*r^2/4+C1+C2*lg(r)
边界条件：r=a,V=0和r=b,V=0.代入计算常数C1和C2,最终：
V(r)=α/μ*r^2/4+α*(b^2*lg(a^2/b)-a^2*lg(a))/(4μ*lg(a/b))+α*(b^2-a^2)/(4μ*lg(a/b))*lg(r)
这是一个类抛物线的图像.流体在管中的流速分布用V(r)可以完全表示出来.
注意上面是柱坐标系,画图像的时候要注意.
又牛顿内摩擦力τ=μ*v=μ*dV/dr.题目所求即为r→a,r→b时τ的值.
dV/dr=α/μ*r/2+α*(b^2-a^2)/(4μ*lg(a/b))/(r*ln(10))；
故当r=a时,τ(a)=μ*(α*a/2μ+α*(b^2-a^2)/(4μ*lg(a/b))/(a*ln(10)))
当r=b时,τ(b)=μ*(α*b/2μ+α*(b^2-a^2)/(4μ*lg(a/b))/(b*ln(10)))
即为管内壁收到的粘性剪切力.上示意图,彩图为流速的模拟图.