作业帮证明奇偶性.(2 17:7:21)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 18:04:16
证明奇偶性.(2 17:7:21)
设a为实数,函数f（x）=x²+∣x-a∣+1,x∈R.
（1）若f（x）是偶函数,试求a的值；
（2）求证：无论a取任意实数,函数f（x）都不可能是奇函数.
设a为实数,函数f（x）=x²+∣x-a∣+1,x∈R.
（1）若f（x）是偶函数,试求a的值；
（2）求证：无论a取任意实数,函数f（x）都不可能是奇函数.
(1).因为f(x)为偶函数,
所以f(a)=f(-a),
即f(a)=a²+∣a-a∣+1=a²+0+1
=f(-a)=(-a)²+∣(-a)-a∣+1=a²+∣-2a∣+1,
所以有∣-2a∣=0,
所以a=0.
(2).分析：用反证法.
证明：假设函数f（x）是奇函数,则有f(-x)=-f(x),
即f（-x）=(-x)²+∣(-x)-a∣+1=-f(x)=-(x²+∣x-a∣+1),
上式变形得：2x²=-∣x-a∣-|-x-a|-2≤-2,即x²≤-1,不可能.
所以假设不成立,即无论a取任意实数,函数f（x）都不可能是
奇函数.
注：牢记定义：奇函数：f(-x)=-f(x),
偶函数：f(x)=f(-x).
所以f(a)=f(-a),
即f(a)=a²+∣a-a∣+1=a²+0+1
=f(-a)=(-a)²+∣(-a)-a∣+1=a²+∣-2a∣+1,
所以有∣-2a∣=0,
所以a=0.
(2).分析：用反证法.
证明：假设函数f（x）是奇函数,则有f(-x)=-f(x),
即f（-x）=(-x)²+∣(-x)-a∣+1=-f(x)=-(x²+∣x-a∣+1),
上式变形得：2x²=-∣x-a∣-|-x-a|-2≤-2,即x²≤-1,不可能.
所以假设不成立,即无论a取任意实数,函数f（x）都不可能是
奇函数.
注：牢记定义：奇函数：f(-x)=-f(x),
偶函数：f(x)=f(-x).