作业帮求积分∫(x^7-4x^5-x^3+5x+1)/(x^5-2x^4-x+2)dx的具体解答过程
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 17:33:09
求积分∫(x^7-4x^5-x^3+5x+1)/(x^5-2x^4-x+2)dx的具体解答过程
有理分式求积分的通用解法：
(1)化为真分式和一个多项式的和.
(2)将真分式分解为若干个一次和二次真分式的和.
(3)分别求各项积分.
∫ (x^7-4x^5-x^3+5x+1)/(x^5-2x^4-x+2) dx
＝ ∫ [ (x^2+2x) + (1+x)/(x^5-2x^4-x+2) ] dx
＝ ∫ [ (x^2+2x) + 1/[(x^2+1)(x-1)(x-2)] ] dx
＝ ∫ [ (x^2+2x) + 1/10 * [ (3x+1)/(x^2+1) - 5/(x-1) + 2/(x-2)] ] dx
＝ x^3/3 +x^2 + 1/10 * [ 3/2 * ln(1+x^2) + arctan(x) － 5ln|x-1| + 2ln|x-2| ] + C
(1)化为真分式和一个多项式的和.
(2)将真分式分解为若干个一次和二次真分式的和.
(3)分别求各项积分.
∫ (x^7-4x^5-x^3+5x+1)/(x^5-2x^4-x+2) dx
＝ ∫ [ (x^2+2x) + (1+x)/(x^5-2x^4-x+2) ] dx
＝ ∫ [ (x^2+2x) + 1/[(x^2+1)(x-1)(x-2)] ] dx
＝ ∫ [ (x^2+2x) + 1/10 * [ (3x+1)/(x^2+1) - 5/(x-1) + 2/(x-2)] ] dx
＝ x^3/3 +x^2 + 1/10 * [ 3/2 * ln(1+x^2) + arctan(x) － 5ln|x-1| + 2ln|x-2| ] + C
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