作业帮如果a^n -1是一个素数,证明a=2且n是素数
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 00:47:54
如果a^n -1是一个素数,证明a=2且n是素数
我试试看吧,或许不是最简单的证明方法,供参考.
这个证明有两个结论,我们需要分开证,这里我使用反证法.
首先假设a不等於2,那么a=1或者a>2.
a=1时a^n-1=0不是素数,显然不对.
当a>2时,a^n-1=(a-1)(a^(n-1)+a^(n-2)+...+1),这是个简单的分解公式,不详说了.又因为a>2,那么a-1>1,所以我们可以看出,a^n-1至少会有a-1这样一个因数,故推出矛盾.
综上,a必为2.
其次假设n不为素数,那么n为1或者合数,即存在i>=2,j>=2使得n=i*j.
上面已证a必为2,则a^n-1=2^n-1.
若n=1,则2^1-1=1不为素数,与题目条件相矛盾.
若n=i*j,运用上述的分解公式,则有
2^n-1=2^(n-1)+2^(n-2)+...+1
这个式子有i*j项,可做如下因式分
2^n-1=(1+2+...+2^(i-1))+(1+2+...+2^(i-1))*2^i+...+(1+2+...+2^(i-1))*2^[i*(j-1)]
=(1+2+...+2^(i-1))*[1+2^i+2^(2i)+...+2^(i*(j-1))]
因为i>=2,j>=2易证这两个因数皆大於1,所以a^n-1不是个素数,与题中条件相矛盾.
由此,n必为素数.
综上所述,定理得证.
这个证明有两个结论,我们需要分开证,这里我使用反证法.
首先假设a不等於2,那么a=1或者a>2.
a=1时a^n-1=0不是素数,显然不对.
当a>2时,a^n-1=(a-1)(a^(n-1)+a^(n-2)+...+1),这是个简单的分解公式,不详说了.又因为a>2,那么a-1>1,所以我们可以看出,a^n-1至少会有a-1这样一个因数,故推出矛盾.
综上,a必为2.
其次假设n不为素数,那么n为1或者合数,即存在i>=2,j>=2使得n=i*j.
上面已证a必为2,则a^n-1=2^n-1.
若n=1,则2^1-1=1不为素数,与题目条件相矛盾.
若n=i*j,运用上述的分解公式,则有
2^n-1=2^(n-1)+2^(n-2)+...+1
这个式子有i*j项,可做如下因式分
2^n-1=(1+2+...+2^(i-1))+(1+2+...+2^(i-1))*2^i+...+(1+2+...+2^(i-1))*2^[i*(j-1)]
=(1+2+...+2^(i-1))*[1+2^i+2^(2i)+...+2^(i*(j-1))]
因为i>=2,j>=2易证这两个因数皆大於1,所以a^n-1不是个素数,与题中条件相矛盾.
由此,n必为素数.
综上所述,定理得证.
如果a^n -1是一个素数,证明a=2且n是素数
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