设函数u=F(x,y,z)在条件φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0下在点(x0,y0,z0 )取得极值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/20 07:44:08

设函数u=F(x,y,z)在条件φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0下在点(x0,y0,z0 )取得极值
证明三曲面F(x,y,z)=m,φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0在点(x0,y0,z0 )的三条法线共面,其中Fφψ均具有一阶连续偏导数,且偏导数均不为零

u=F(x,y,z)
在点(x0,y0,z0 )取到极值,必然满足存在两个数λ1,λ2,使得P(x,y,z)=F(x,y,z)+λ1φ(x,y,z)+λ2ψ(x,y,z)在
φ(x0,y0,z0)=0,ψ(x0,y0,z0)=0的条件下
满足
P'x(x0,y0,z0)=F'x(x0,y0,z0)+λ1φ'x(x0,y0,z0)+λ2ψ'x(x0,y0,z0)=0 ( 式子1）
P'y(x0,y0,z0)=F'y(x0,y0,z0)+λ1φ'y(x0,y0,z0)+λ2ψ'y(x0,y0,z0)=0 ( 式子2）
P'z(x0,y0,z0)=F'z(x0,y0,z0)+λ1φ'z(x0,y0,z0)+λ2ψ'z(x0,y0,z0)=0 ( 式子3）
三曲面F(x,y,z)=m,φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0在点(x0,y0,z0 )的三条法向量分别是
n1=(F'x(x0,y0,z0),F'y(x0,y0,z0),F'z(x0,y0,z0))
n2=(φ'x(x0,y0,z0),φ'y(x0,y0,z0),φ'z(x0,y0,z0))
n3=(ψ'x(x0,y0,z0),ψ'y(x0,y0,z0),ψ'z(x0,y0,z0))
要证共面,只要证明(n1xn2)*n3=0即可.
因为(n1xn2)*n3=|F'x(x0,y0,z0),F'y(x0,y0,z0),F'z(x0,y0,z0)|
φ'x(x0,y0,z0),φ'y(x0,y0,z0),φ'z(x0,y0,z0)
ψ'x(x0,y0,z0),ψ'y(x0,y0,z0),ψ'z(x0,y0,z0)
只要上面这个行列式的值为零即可.
把第二行乘以λ1,第三行乘以λ2,加到第一行,即r1+λ1r2+λ2r3.
由于式子1,式子2,式子3得,第一行都变成了0.
所以行列式=(n1xn2)*n3=0
所以三向量共面

设函数u=F(x,y,z)在条件φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0下在点(x0,y0,z0 )取得极值可微函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)取极值是fx'(x0,y0)=fy'(x0,y0)=0的什么条件? 设可微函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值,这下列说法错误的是高数--多元函数微分设 z=f(x,y)在（x0,y0）处取得极大值,则函数u（x）=f（x,y0）在x0处和w（y）= 函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处fx(x0,y0) fy(x0,y0)存在,则f(x,y)在该点? 求函数u=x+y+z在条件1/x+1/y+1/z=1,x>0,y>0,z>0下的极值求函数u=x+y+z在球面x^2+y^2+z^2=1上点（x0,y0,z0）处,沿球面在该点的外法线方向的方向导数二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的连续是函数在点(x0,y0)处可微分的什么条件二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在是f(x,y)在该点连续的什么条件? 函数可微分的充分条件函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微分的充分条件是f(x,y)在点(x0,y0)处[ ]A.两设函数z=f(x,y) 在(x0,y0) 某领域内有定义,则高等数学题,附图设z=f(x,y)在点(x0,y0)处自变量有增量Δx,Δy,函数全增量为Δz,若函数在该点可微,