如图所示,在平面直角坐标系中有点A(-1,0),B(4,0),以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点C

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 03:22:25

如图所示,在平面直角坐标系中有点A(-1,0),B(4,0),以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点C
1）求点C的坐标（2）求过点A,B,C三点的抛物线的解析式（3）在（2）的条件下,若在抛物线上有一点D,使四边形BOCD为直角梯形,求直线BD的解析式（4）设笛M是抛物线上任意一点,过点M坐MN⊥y轴,交y轴于点N,若在线段AB上有且只有一点P,使∠MPN为直角,求点M的坐标
图

(1)连接AC、CB
由相交弦定理得：OC²＝OA•OB
OC²＝1×4＝4
OC＝2
∴点C的坐标(0,2)
(2)设抛物线的解析式为：y＝a(x＋1)(x－4)
把点C(0,2)的坐标代入得：－4a＝2,a＝－1/2
∴抛物线解析式是：y＝－1/2x²＋3/2x＋2
(3)过点C作CD∥OB,交抛物线于点D,则四边形BOCD为直角梯形
由(2)知：抛物线的对称轴为x＝3/2
∴点D的坐标(3,2)
设过点B(4,0)、D(3,2)的直线解析式是：y＝kx＋b,则：
4k＋b＝0
3k＋b＝2
解得：k＝－2,b＝8
∴直线BD的解析式为：y＝－2x＋8
(4)由题意可知：
以MN为直径的半圆与线段AB相切于点P
设点M(m,n)
①当点M在第一或第三象限时,m＝2n
把点M(2n,n)代入抛物线解析式得：n²－n－1＝0
解得：n＝(1±√5)/2
∴点M的坐标(1＋√5,(1＋√5)/2 )或(1－√5,(1－√5)/2 )
②当点M在第二或第四象限时,m＝－2n
把点M(－2n,n)代入抛物线解析式得：n²＋2n－1＝0
解得：n＝－1±√2
∴点M的坐标(2－2√2,－1＋√2)或(2＋√2,－1－√2)
综上：
满足条件的点M的坐标是(1＋√5,(1＋√5)/2 )、(1－√5,(1－√5)/2 )、(2－2√2,－1＋√2)、(2＋√2,－1－√2)