请问矩阵B的谱半径与A的谱半径相等吗,若相等,怎么证明?矩阵B如下图所示

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 02:58:13

B为2n*2n的方阵，A为n*n的方阵

是相等的.
由B² = [A²,0;A²,0], 有ρ(B²) = ρ(A²).
于是ρ(B)² = ρ(B²) = ρ(A²) = ρ(A)², 即得ρ(B) = ρ(A).
再问：第二步ρ(B²) = ρ(A²).为什么成立？请详细证明！
再答：上面写错了, 应该是B² = [A²,0;0,A²], 是分块对角矩阵. 设可逆矩阵T使C = T^(-1)A²T为上三角阵, 则S = [T,0;0,T]也可逆, 且成立D = S^(-1)B²S = [C,0;0,C]也为上三角阵. 且D的对角元与C的对角元集合相同, 也即B²的谱集与A²的谱集相同. 于是ρ(B²) = ρ(A²). 或者也可以直接由|λE-B²| = |λE-A²|²证明, 总之就是用分块对角这一点.

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