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高二数学(理科)
本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名、班别、学号、试室号填写在答题卡上．
2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．
参考公式及数据：
用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ， ．
随机变量 的临界值表:

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若 ，其中 ， 是虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
2．下列推理过程是类比推理的为（ ）
A. 人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5;
B. 鲁班通过研究带齿的草叶和蝗虫的齿牙,发明了锯;
C. 通过检验溶液的PH值得出溶液的酸碱性；
D. 数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数.
3．通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析，那么残差图中的残差点比较均匀地落在较窄的水平的带状区域中，说明（ ）
A. 模型选用得不合适，模型拟合精度不高，从而得出回归方程的预报精度不高。
B. 模型选用得比较合适，模型拟合精度较高，从而得出回归方程的预报精度较高。
C. 模型选用得合适，模型拟合精度较高，但回归方程的预报精度不高。
D. 模型选用得合适，但模型拟合精度不高，从而得出回归方程的预报精度不高。
4．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（ ）
A. B. C. D.
5．已知随机变量 ，且 ， ，则 与 的值分别为 （ ）
A．16与0.8 B．20与0.4 C．12与0.6 D．15与0.8
6．设随机变量 服从标准正态分布 ，在某项测量中，已知 在 内取值的概率为0.025，则 =（ ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.97
7. 在5道题中有3道理科题和2道文科题.不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．定义 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是（ ）

（1） （2） （3） （4） （A） （B）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.
9．已知集合A= ，那么A的所有子集的个数是 。
10．根据定积分的几何意义，计算 __。
11．通过计算高中生的性别与喜欢数学课程列联表中的数据，得到 ，那么可以得
到结论: 约有 的把握认为性别与喜欢数学之间有关系。
12．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为 ，则此射手每次射击命中的概率为 。








13．设 是一个离散型随机变量，其分布列如下:
则 = 。
14．由等式
定义映射 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分12分）
如图，求直线 与抛物线 所围成图形的面积.
16．（本小题满分12分）
某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 60 70
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 = x+ ；
（3）要使这种产品的销售额突破一亿元(含一亿元)，则广告费支出至少为多少百万元？
（结果精确到0.1，参考数据：2×30＋4×40＋5×50＋6×60＋8×70=1390）。
17．（本小题满分14分）
在二项式 的展开式中，
（1）若所有二项式系数之和为 ，求展开式中二项式系数最大的项．
（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和。
18．（本小题满分14分）
已知函数 ，
（1）求 的单调区间；
（2）求 在 上的最大值和最小值。
19．（本小题满分14分）
某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，
初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有 次选题答题的机会，选手累计答对 题或答错 题即终止其初赛的比赛，答对 题者直接进入决赛，答错 题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为 ．
(1) 求选手甲可进入决赛的概率；
(2) 设选手甲在初赛中答题的个数为 ，试写出 的分布列，并求 的数学期望．
20．（本小题满分 分）
设 是由非负整数组成的数列，且满足 ， ，
，
（1）求 ；
（2）证明 ，
（3）求 的通项公式。
附加题（本题为附加题，如果解答正确，加5 分，但全卷总分不超过150分）
若存在实常数 和 ，使得函数 和 对其定义域上的任意实数 分别满足： 和 ，则称直线 为 和 的“隔离直线”．
已知 ， 为自然对数的底数)．问:
函数 和 是否存在“隔离直线”？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
一、选择题：1-8：DBBD DCBC
二、填空题：
9．8 10． 11．95％ 12． 13． 14．
三、解答题：
15．【解】由方程组 ，可得 , ，...4分
故所求图形面积为
…8分

16．【解】（1）散点图如下图所示：
（2） ， ， ，
， ，
所求回归直线方程为
（3）依题意，有 所以广告费支出至少为12.1百万元.…12分
17．【解】（1）由已知得 ， ，……3分
展开式中二项式系数最大的项是 。……6分
（2）展开式的通项为 ， ……8分
由已知： 成等差数列， ∴n=8, ………11分
在 中令x=1，得各项系数和为 。 …………………14分
18．【解】（1）因为 ，所以
……………………2分
由 得 或 , ……………………4分
故函数 的单调递增区间为（-∞，- ），（2，+∞）； …………7分
由 得 ,故函数 的单调递减区间为（ ，2）………9分
（2）令 得 ……………………10分
由（1）可知，在 上 有极小值 ，…………11分
而 ， ，因为 ……………………13分
所以 在 上的最大值为4，最小值为 。………………14分
19．【解】
(1) 选手甲答 道题可进入决赛的概率为 ； ……………………1分
选手甲答 道题可进入决赛的概率为 ；………………………3分
选手甲答5道题可进入决赛的概率为 ； …………………5分
∴选手甲可进入决赛的概率 + + ． …………………7分
(2) 依题意， 的可能取值为 ．…………………8分
则有 ，
，
， …………………………11分
因此 的分布列为








． ……………………………14分
20．【解】
（1）由于题设有 ，且 都是非负整数，于是 的取值只能是1，2，5，10。
若 ，则 ，这与 为非负整数矛盾； ……1分
若 ，则 ，这与 为非负整数矛盾； ……2分
若 ，则 ，这也与 为非负整数矛盾； ……3分
所以 。 ……4分
（2）用数学归纳法证明
① 当 时， 等式成立； ……5分
② 假设当 时等式成立，即 ，
则当 时，因为 ，由归纳假设得 ，
，即当 时，等式也成立； ……8分
由①②可知， ， 。 ……9分
（3） ， ， ， ，
，……12分
， ……13分
即 ……14分
附加题【解】(Ⅰ)先求 的极小值；(过程略)
当 时， 取极小值，其极小值为 ……………2分
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知函数 和 的图象在 处有公共点，因此若存在 和 的隔离直线，则该直线过这个公共点．
设隔离直线的斜率为 ，则直线方程为 ，即 ．
由 ，可得 当 时恒成立．
， 由 ，得 ．
下面证明 当 时恒成立．
令 ，则
，当 时， ． 当 时， ，此时函数 递增；当 时， ，此时函数 递减；
∴当 时， 取极大值，其极大值为 ．
从而 ，即 恒成立．
∴函数 和 存在唯一的隔离直线 ． …