作业帮高中数学三角向量题第二小题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 10:07:01
高中数学三角向量题第二小题
BD=(1/2)BA+(1/2)BC
|BD|=1
于是|BD|²=(1/4)(BA)²+(1/2)BA*BC+(1/4)(BC)²=1
即(1/4)|BA|²+(1/2)|BA||BC|cosB+(1/4)|BC|²=1
即(1/4)y²+(-1/4)xy+(1/4)x²=1
得xy=x²+y²-4≥2xy-4
得xy≤4
于是S△ABC=(1/2)xysinB≤√3
再问： 你的第一步BD=(1/2)BA+(1/2)BC 怎么得到的 BD是角平分线而不是中线 虽然最后想让它面积最大的确是角平分线和中线是重合的 但这样你最后的不等式求出的是最大值....
再答： 角平分线啊 那按你的想法，解析法 以B为原点,BD为x轴正向建立平面直角坐标系。 点A横纵坐标分别为：x/2，-√3x/2 点B横纵坐标分别为：y/2，√3y/2 当x≠y时直线AB方程为Y-√3y/2=[√3(y+x)/(y-x)][X-((y/2)] 点D在AB上，于是-√3y/2=[√3(y+x)/(y-x)][1-(y/2)] 化简得y=x/(x-1)【此时能发现x，y均比对角线长，几何作图为x最短时，CD平行BA】 S△ABC=(1/2)xysinB =(√3/4)[x²/(x-1)] =(√3/4){(x-1)+[1/(x-1)]+2} ≥√3，此时x-1=1，x=2，得y=2，x=y。于是S＞√3 而当x=y时，显然x=y=2，得S=√3 于是S最大值为√3 ……………………………………………… 另有向量法表示出角平线解法。 向量法：|AD|/|DC|=|AB|/|BC|【对角线性质】 于是BD=[x/(x+y)]AB+[y/(x+y)]AC |BD|²=1， x²y²/(x+y)²+2[xy/(x+y)²]xy(-1/2)+x²y²/(x+y)²=1 化简得y=x/(x-1)，x＞1 此时不用讨论y≠x，比较简洁
|BD|=1
于是|BD|²=(1/4)(BA)²+(1/2)BA*BC+(1/4)(BC)²=1
即(1/4)|BA|²+(1/2)|BA||BC|cosB+(1/4)|BC|²=1
即(1/4)y²+(-1/4)xy+(1/4)x²=1
得xy=x²+y²-4≥2xy-4
得xy≤4
于是S△ABC=(1/2)xysinB≤√3
再问： 你的第一步BD=(1/2)BA+(1/2)BC 怎么得到的 BD是角平分线而不是中线 虽然最后想让它面积最大的确是角平分线和中线是重合的 但这样你最后的不等式求出的是最大值....
再答： 角平分线啊 那按你的想法，解析法 以B为原点,BD为x轴正向建立平面直角坐标系。 点A横纵坐标分别为：x/2，-√3x/2 点B横纵坐标分别为：y/2，√3y/2 当x≠y时直线AB方程为Y-√3y/2=[√3(y+x)/(y-x)][X-((y/2)] 点D在AB上，于是-√3y/2=[√3(y+x)/(y-x)][1-(y/2)] 化简得y=x/(x-1)【此时能发现x，y均比对角线长，几何作图为x最短时，CD平行BA】 S△ABC=(1/2)xysinB =(√3/4)[x²/(x-1)] =(√3/4){(x-1)+[1/(x-1)]+2} ≥√3，此时x-1=1，x=2，得y=2，x=y。于是S＞√3 而当x=y时，显然x=y=2，得S=√3 于是S最大值为√3 ……………………………………………… 另有向量法表示出角平线解法。 向量法：|AD|/|DC|=|AB|/|BC|【对角线性质】 于是BD=[x/(x+y)]AB+[y/(x+y)]AC |BD|²=1， x²y²/(x+y)²+2[xy/(x+y)²]xy(-1/2)+x²y²/(x+y)²=1 化简得y=x/(x-1)，x＞1 此时不用讨论y≠x，比较简洁