协方差和相关系数问题,算了好多遍都不对……求过程……

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 15:31:21

在三角形内,因为密度均匀,所以概率密度函数ρ(X,Y)=1/该三角形面积=1/(1/2)=2
E(X)=积分X(0到1) 积分Y(0到1-x) x*p(x,y) dydx=积分X(0到1) x(1-x)*2 dx=(x^2-2/3*x^3)|(0,1)=1/3
E(X^2)=积分X(0到1) 积分Y(0到1-x) x^2*p(x,y) dydx=积分X(0到1) x^2*(1-x)*2 dx=(2/3*x^3-1/2*x^4)|(0,1)=1/6.
因为X,Y对称,所以E(Y)=1/3,E(Y^2)=1/6.
所以D(X)=E(X^2)-E(X)*E(X)=1/6-1/3*1/3=1/18,同理D(Y)=1/18
E(XY)=积分X(0到1) 积分Y(0到1-x) xy*p(x,y)dydx=积分X(0到1) x(1-x)^2 dx=(1/2*x^2-2/3*x^3 1/4*x^4)|(0,1)=1/12
所以,根据定义：
COV(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=1/12-1/3*1/3= -1/36
ρXY=COV(X,Y)/(根号D(X)*根号D(Y))=-1/36/(1/18)= -1/2
再问：求e（x）不是先求x的边缘密度函数啊……我又理解错了么@_@

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