作业帮证明:不存在任何n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 00:37:29
证明:不存在任何n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E
貌似这个有点杀鸡用牛刀的感觉，希望有简单的方法
貌似这个有点杀鸡用牛刀的感觉，希望有简单的方法
直接计算Trace(AB-BA)=Trace(AB)-Trace(BA)=0,但Trace(E)=n.所以不存在这样的矩阵.
至于杀鸡用牛刀的问题,我觉得,需要注意下面的一个事情.
假设V是一个线性空间,M是从V到V的线性映射.当V是有限维线性空间的时候,M可以写成矩阵的形式,仍然记成M,这时候有Trace(M)的定义.
如果V是无限维线性空间,一般不一定有Trace(M)的定义,而且确实有可能AB-BA=E.比如说V是（一元）多项式空间（也可以取成光滑函数空间或者解析函数空间）,V里的元素都是一些函数,形如f(x).这时候E作为恒等映射,把每个V中的元素映成自身,也就是Ef=f.现在取A把f映成f的导函数,即Af=f'；取B把f(x)映成g(x)=xf(x),即Bf=xf.那么ABf-BAf=(xf)'-xf'=f=Ef,对任意f.也就是说AB-BA=E.
也就是说,对于无穷维的空间上的线性映射A、B,可以有AB-BA=E.只是对于有限维空间上的线性映射A、B,也就是n阶矩阵,才不可能AB-BA=E.而Trace又是对有限维算子能定义而对一般的无穷维算子不能定义的（因为Trace是“特征值”的和,而无穷维算子的“特征值”很多,加起来可能发散）,所以可能比较适合这个问题.
至于杀鸡用牛刀的问题,我觉得,需要注意下面的一个事情.
假设V是一个线性空间,M是从V到V的线性映射.当V是有限维线性空间的时候,M可以写成矩阵的形式,仍然记成M,这时候有Trace(M)的定义.
如果V是无限维线性空间,一般不一定有Trace(M)的定义,而且确实有可能AB-BA=E.比如说V是（一元）多项式空间（也可以取成光滑函数空间或者解析函数空间）,V里的元素都是一些函数,形如f(x).这时候E作为恒等映射,把每个V中的元素映成自身,也就是Ef=f.现在取A把f映成f的导函数,即Af=f'；取B把f(x)映成g(x)=xf(x),即Bf=xf.那么ABf-BAf=(xf)'-xf'=f=Ef,对任意f.也就是说AB-BA=E.
也就是说,对于无穷维的空间上的线性映射A、B,可以有AB-BA=E.只是对于有限维空间上的线性映射A、B,也就是n阶矩阵,才不可能AB-BA=E.而Trace又是对有限维算子能定义而对一般的无穷维算子不能定义的（因为Trace是“特征值”的和,而无穷维算子的“特征值”很多,加起来可能发散）,所以可能比较适合这个问题.
证明:不存在任何n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E
证明：不存在任意n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E
证明：不存在n阶矩阵A,B,使得AB-BA=E 尽量容易理解的证法
怎样证明 不存在n阶方阵A,B 使得 AB-BA=E
试证不存在n阶方阵A、B满足AB-BA=E(E为单位矩阵）
A,B为n阶矩阵且A+B=E,证明AB=BA
设A,B是n阶矩阵,E是n阶单位矩阵,且AB=A-B证明A+E可逆,证明AB=BA
已知A,B均为N阶矩阵,且A2-AB=E,证明R(AB-BA-A)=N
设A,B为n阶矩阵,且E-AB可逆,证明E-BA
A,B均为n阶矩阵,E-AB可逆,证明E-BA可逆
设A,B为n阶矩阵,如果E+AB可逆,证明E+BA可逆.
设A,B为n阶矩阵且A+B＝E,证明：AB＝BA