作业帮大学概率论与统计原理的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 23:48:13
大学概率论与统计原理的问题
甲乙进行射击比赛,每进行一次,胜者得一分.在一次射击中,甲胜的概率是a,乙胜的概率是b,设a>b(a+b=1）,且独立地进行比赛到有一人超过对方2分就 停止,多得2分者胜,分别求甲,乙胜的概率?
甲乙进行射击比赛,每进行一次,胜者得一分.在一次射击中,甲胜的概率是a,乙胜的概率是b,设a>b(a+b=1）,且独立地进行比赛到有一人超过对方2分就 停止,多得2分者胜,分别求甲,乙胜的概率?
甲在比赛了2k次时胜出等同于（k为正整数）
甲第1局胜,乙第2局胜,甲第3局胜,乙第4局胜,……,乙第2k-2局胜,甲第2k-1局胜,甲第2k局胜
因此甲在比赛了2k次时胜出的概率p_2k为
p_2k=a*b*a*b*...*b*a*a=a^2*(ab)^(k-1)
同理,甲在比赛了2k次时胜出等同于
乙第1局胜,甲第2局胜,乙第3局胜,甲第4局胜,……,乙第2k-3局胜,甲第2k-2局胜,甲第2k-1局胜
因此甲在比赛了2k次时胜出的概率p_(2k+1)为
p_(2k+1)=b*a*b*a*...*b*a*a=a^2*b*(ab)^(k-1)
从而甲获胜的概率为
∑p_k=∑p_2k+∑p_(2k+1)
=∑a^2*(ab)^(k-1)+∑a^2*b*(ab)^(k-1)
=a^2/(1-ab)+a^2*b/(1-ab)
=a^2*(1+b)/(1-ab)
同理,乙获胜的概率为
b^2*(1+a)/(1-ab)
利用a+b=1,以上表达式还可以化为其他的不同形式,这里略去.
另外还可以验证a^2*(1+b)/(1-ab)+b^2*(1+a)/(1-ab)=1.
甲第1局胜,乙第2局胜,甲第3局胜,乙第4局胜,……,乙第2k-2局胜,甲第2k-1局胜,甲第2k局胜
因此甲在比赛了2k次时胜出的概率p_2k为
p_2k=a*b*a*b*...*b*a*a=a^2*(ab)^(k-1)
同理,甲在比赛了2k次时胜出等同于
乙第1局胜,甲第2局胜,乙第3局胜,甲第4局胜,……,乙第2k-3局胜,甲第2k-2局胜,甲第2k-1局胜
因此甲在比赛了2k次时胜出的概率p_(2k+1)为
p_(2k+1)=b*a*b*a*...*b*a*a=a^2*b*(ab)^(k-1)
从而甲获胜的概率为
∑p_k=∑p_2k+∑p_(2k+1)
=∑a^2*(ab)^(k-1)+∑a^2*b*(ab)^(k-1)
=a^2/(1-ab)+a^2*b/(1-ab)
=a^2*(1+b)/(1-ab)
同理,乙获胜的概率为
b^2*(1+a)/(1-ab)
利用a+b=1,以上表达式还可以化为其他的不同形式,这里略去.
另外还可以验证a^2*(1+b)/(1-ab)+b^2*(1+a)/(1-ab)=1.