证明级数的收敛若级数an（n从1到无穷）收敛,数列bn收敛,证明级数anbn（n从1到无穷）收敛,提示说用柯西收敛准则,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 00:28:58

证明级数的收敛
若级数an（n从1到无穷）收敛,数列bn收敛,证明级数anbn（n从1到无穷）收敛,提示说用柯西收敛准则,但我证不出来……
用绝对收敛的我已经做过了，

这题明显少条件,如果bn是单调的就可以了.否则结论不成立.
反例：an＝(－1)^n/n^(1/2),级数an收敛.
bn＝(－1)^n/n^(1/2),数列bn收敛于0,但
级数anbn＝级数1/n是发散的.
题目条件等价于级数(bn－b(n－1))是绝对收敛的,这就足够了.
证明得用到Abel分部求和公式：
记a1+...+ak＝Sk,则a1b1+...+akbk
＝Skbk－【S1(b1－b2)+S2(b2－b3)+...+S(k－1)(b(k－1)－bk)】 (*).
注意到条件能得到Sk有极限,bk有极限,且由于Sk有极限故有界,因此
级数(Sk(bk－b(k+1))是绝对收敛的当然也是收敛的,因此(*)式
当k趋于无穷时是有极限的,即级数anbn是收敛的.
ps:你可以自己用Cauchy收敛原理去证,当然还是得用上面的Abel分部求和.
证明过程类似,不过注意到Sk不是从级数an的第一项开始相加了.
自己试一下吧.

证明级数的收敛若级数an（n从1到无穷）收敛,数列bn收敛,证明级数anbn（n从1到无穷）收敛,提示说用柯西收敛准则, 若级数∑an绝对收敛,数列{bn}界,则级数∑anbn绝对收敛（n从1到无穷）级数∑Bn,∑An-A（n-1）收敛,证明∑An*Bn收敛 1.如果无穷级数∑an（n等于1到无穷）收敛,∑an/n是否一定收敛?如果是,请证明,如果不一定,请给出反例. 设Un>=0,且{NUn}有界,证明：级数∑Un^2收敛（n从1到无穷）设{nAn}收敛,且级数An收敛,证明:级数n(An-An-1)也收敛设数列{nan}收敛,且级数∑an收敛,证明级数∑n(an-an-1)也收敛设数列{nan}收敛,级数∑n(an-an-1)也收敛,证明级数∑an收敛证明函数项级数n从1到无穷,arctan(2x/(x^2+n^3))在负无穷到正无穷内一致收敛高数!关于级数的!若级数an（n=1到无穷）条件收敛,则幂级数anx^n（n=1到无穷）的收敛区间是?答案给的是（-1, 若正项级数∑(n从1到∞)an收敛,证明∑(n从1到∞)an^2也收敛,但反之则不然,举例证明若级数(2^n)(a^n) 收敛,n从1到无穷.则a的取值范围是?