已知圆O:x²+y²=1,点P在直线l:2x+y-3=0上.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/18 02:30:28
已知圆O:x²+y²=1,点P在直线l:2x+y-3=0上.
点M为直线y=x与直线l的交点,若在平面内存在定点N(不同于点M),满足:对于圆O上任意一点Q,都有QN/QM为一常数,求所有满足条件的点N的坐标.
不要特殊值代入法!
点M为直线y=x与直线l的交点,若在平面内存在定点N(不同于点M),满足:对于圆O上任意一点Q,都有QN/QM为一常数,求所有满足条件的点N的坐标.
不要特殊值代入法!
(1)由勾股定理得:|PO|2=R2+|PA|2,半径R=1,所以要求|PA|最小,就是求|PO|最短,
而|PO|最短时,OP垂直于直线2x+y-3=0,所以最短|OP|=|0+0-3|4+1=35,
所以|PA|2=|PO|2-R2=45
即|PA|最小时,|PA|=255
直线2x+y-3=0的斜率是k=-2,则PO的斜率是k'=12,所以OP方程是y=x2
将方程y=x2与直线2x+y-3=0联立,解得:x=65,故有y=35,即点P坐标是(65,35);
(2)由直线y=x与直线l:2x+y-3=0联立,可得交点坐标M(1,1),设Q(m,n),N(x,y)
则QNQM=(x-m)2+(y-n)2(m-1)2+(n-1)2=λ(λ≠1)
∴m(2λ-2x)+n(2λ-2y)+x2+y2-3λ+1=0
∵对于圆 O上任意一点Q,都有QNQM为一常数,
∴2λ-2x=02λ-2y=0x2+y2-3λ+1=0,解得x=y=λ=12,
∴N(12,12)
(3)由题意,四点P,A,O,B共圆,当且仅当圆与直线相切时,|PA|最小,∠APB最大,PA?PB取得最小值
由(1)知P坐标是(65,35);
设A(a,b),则过A的切线方程为:ax+by=1,将(65,35)代入可得65a+35b=1,
∵a2+b2=1
∴a=10+1015,b=5-21015,或a=10-1015,b=5+21015
∴PA*PB=(10+1015-65,5-21015-35)*(10-1015-65,5+21015-35)=215
而|PO|最短时,OP垂直于直线2x+y-3=0,所以最短|OP|=|0+0-3|4+1=35,
所以|PA|2=|PO|2-R2=45
即|PA|最小时,|PA|=255
直线2x+y-3=0的斜率是k=-2,则PO的斜率是k'=12,所以OP方程是y=x2
将方程y=x2与直线2x+y-3=0联立,解得:x=65,故有y=35,即点P坐标是(65,35);
(2)由直线y=x与直线l:2x+y-3=0联立,可得交点坐标M(1,1),设Q(m,n),N(x,y)
则QNQM=(x-m)2+(y-n)2(m-1)2+(n-1)2=λ(λ≠1)
∴m(2λ-2x)+n(2λ-2y)+x2+y2-3λ+1=0
∵对于圆 O上任意一点Q,都有QNQM为一常数,
∴2λ-2x=02λ-2y=0x2+y2-3λ+1=0,解得x=y=λ=12,
∴N(12,12)
(3)由题意,四点P,A,O,B共圆,当且仅当圆与直线相切时,|PA|最小,∠APB最大,PA?PB取得最小值
由(1)知P坐标是(65,35);
设A(a,b),则过A的切线方程为:ax+by=1,将(65,35)代入可得65a+35b=1,
∵a2+b2=1
∴a=10+1015,b=5-21015,或a=10-1015,b=5+21015
∴PA*PB=(10+1015-65,5-21015-35)*(10-1015-65,5+21015-35)=215
已知圆O:x²+y²=1,点P在直线l:2x+y-3=0上.
已知直线l:4x-3y-20=0,点P是圆O:x^2+y^2+6x-2y-15=0上一动点,求点P到直线l的距离的最大值
已知圆O:x2+y2=1,点P在直线L:2x+y-3=0上,过点P作圆O的两条切线,A.B为两切点
已知圆x2+y2=1,点P在直线l:2x+y-3=0上,过点P作圆O的两条切线,A.B为两切点.点M为直线y=x与直线L
已知点P是圆C:x^2+y^2-6x-8y+21=0上一个动点,O为原点坐标,直线l1:x+y+1=0 求过点P作直线l
已知圆M的方程为x²+(y-4)²=1,直线l的方程为2x-y=0,点P在直线l上,过点P作圆M的切
求圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程
高二数学题 已知圆O:x^2+y^2=1,点P在直线2x+y-3=0上,过P作圆O的两条切线,AB为两切点,求向量PA*
已知点P(X,Y)在直线x+y-4=0上,O是原点,求OP最小值
已知直线l:x+y-1=0与圆c:x²+y²-4x+3=0相交于AB两点若p(x,y)为圆c上的动点
已知点P(2,1)在直线l:x/a+y/b=1上且直线l与X轴Y轴的正半轴交与A,B两点,O为坐标原点
已知圆M的方程为x^2+(y-2)^2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切