数列 0,1,0,-1… 的一个通项公式是?不用三角函数

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 15:20:19

数列 0,1,0,-1… 的一个通项公式是?不用三角函数
额蓝山不懂啊…

可以这么想：
如果是0,1,0,1,0 ,1,...的话,可以有通项：
a(n) = [1 + (-1)^n]/2 ,这样n为奇数的时候就是0,偶数就是1.
那在n为偶数的时候有没有办法区分出被4除的余数呢?受上面的启发,利用虚数单位：i = √(-1)
a(n) = -[i^n + (-i)^n]/2.这样,n为奇数时,i^n 和(-i)^n还是异号的,所以为0.而n= 2k为偶数时,
a(2k) = -(-1)^k,是在-1和1间跳跃的.
所以以上通项满足要求.
话说回来：a(n) = sin(n* pi/2)是满足要求的.用欧拉公式：
a(n) = sin(n*pi/2) = [e^(in * pi/2) - e^(-in * pi/2)]/2i
= {[e^(i * pi/2)]^n - [e^(-i*pi/2)]^n}/2i
= [i ^n - (-i)^n]/2i = -[i^n + (-i)^n]/2
所以说,三角函数还是逃不掉啊……本质就是如此

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