一个边长是1的正方形至少需要几个单位圆才能完全覆盖?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 09:42:26

一个边长是1的正方形至少需要几个单位圆才能完全覆盖?
对不起，是直径为1的圆，如果用三个圆盖住最小半径为多少呢？

（1）关于四个圆
证明：i) 若要将正方形完全覆盖,至少要将其四条边（四个顶点）覆盖.
直径为1的圆要覆盖边长1,最多只能覆盖一条（当且仅当边位于直径位置时）,所以要想覆盖4条边,至少需要4个边长为1的圆；
若直径为1的圆未覆盖完整边长,则其最多只能包含一个正方形顶点,所以要想包含4个顶点,至少需要4个边长为1的圆.
ii) 证明4个直径为1的圆能够覆盖边长为1的正方形,只需至少找到一种方法即可（如图）.
（2）关于三个圆
要三个圆相中心交叠的区域最大,其相交的3个外围交点须是其直径端点,因为直径进入或远离交叠区域都会使中心交叠区域变小.
要三个能盖住正方形的圆最小,须使其3个外围交点位于正方形的边或顶点上,因为如果交点位于正方形外,则圆的直径仍可以缩小.
所以问题变为在边长为1的正方形边（顶点）上找一个正三角形,并求正三角形的边长.
如图,可求得正三角形的边长（圆的直径）为：D=(1-tan15°)*√(2)=[1-(1-cos30°)/sin30°]*√(2)=( √(2) )*( (√(3) - 1 ) = (√6 ) -(√2 ).

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