作业帮向量证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 03:11:00
用向量方法证明三角形的三条中线交于一点
解题思路： 有问题请添加讨论
解题过程：
AD、BE、CF是△ABC的三条中线，用向量法求证：AD、BE、CF共点。
［证明］
令BE、CF相交于O，且BO＝mOE、CO＝nOF，其中m、n为非零实数。则：
向量BO＝m向量OE、向量CO＝n向量OF。
∴向量BC＝向量OC－向量OB＝向量BO－向量CO＝m向量OE－n向量OF，
向量FE＝向量OE－向量OF。
显然有：向量BC＝2向量FE，∴m向量OE－n向量OF＝2（向量OE－向量OF），
∴（m－2）向量OE＝（n－2）向量OF，而向量OE、向量OF不共线，∴m－2＝n－2＝0，
∴m＝n＝2，∴BO＝2OE、CO＝2OF。
令AD、BE相交于G，利用上述结论，则有：BG＝2GE，又BO＝2OE，且O、G都在线段BE上，
∴O、G重合，∴AD、BE、CF共点。
最终答案：略
解题过程：
AD、BE、CF是△ABC的三条中线，用向量法求证：AD、BE、CF共点。
［证明］
令BE、CF相交于O，且BO＝mOE、CO＝nOF，其中m、n为非零实数。则：
向量BO＝m向量OE、向量CO＝n向量OF。
∴向量BC＝向量OC－向量OB＝向量BO－向量CO＝m向量OE－n向量OF，
向量FE＝向量OE－向量OF。
显然有：向量BC＝2向量FE，∴m向量OE－n向量OF＝2（向量OE－向量OF），
∴（m－2）向量OE＝（n－2）向量OF，而向量OE、向量OF不共线，∴m－2＝n－2＝0，
∴m＝n＝2，∴BO＝2OE、CO＝2OF。
令AD、BE相交于G，利用上述结论，则有：BG＝2GE，又BO＝2OE，且O、G都在线段BE上，
∴O、G重合，∴AD、BE、CF共点。
最终答案：略