作业帮函数问题(增函数)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 14:59:16
设a＞0，f（x）= ex／a＋a／ex是偶函数，求a的值并证明f(x) 在(0,＋∞)为增函数 要详细过程 不要附件
解题思路： 增函数的性质
解题过程：
解：：∵f（x）为R上的偶函数。
∴f(x) = f(﹣x)
即：(e^x)／a＋a＋(e^x) = e^(﹣x)／a＋a／[(e^(﹣x))]
(e^x)／a＋a／(e^x) = 1/（ae^x)＋ae^x
即(e^x)(1/a－a)+(a－1/a)／(e^x) = 0
(a－1／a)·[1／(e^x)－e^x] = 0
由于x的任意性，只有a－1/a=0，即a^2-1=0 ，由a>0，故a=1.
（2）证明：f(x)=e^x+1/(e^x)为增函数
证明：取X1，X2且0<X1<X2,
则f(X2)－f(X1)
=e^X2＋1／e^X2－(e^X1＋1／e^X1)
=(e^X2－e^X1)＋(1/e^X2－1/e^X1)
=(e^X2－e^X1)·【e^x2·e^x1－1】／【e^x2·e^X1】
∵0<X1<X2，∴x1＋x2＞0
∴e^x2·e^x1=e^(x1＋x2)＞eº=1，即：e^x2·e^x1－1＞0
∴f(X2)－f(X1)＞0，即：(X2)＞f(X1)
∴f(x)=e^x＋1/(e^x)在（0，﹢∞）上为增函数
最终答案：略
解题过程：
解：：∵f（x）为R上的偶函数。
∴f(x) = f(﹣x)
即：(e^x)／a＋a＋(e^x) = e^(﹣x)／a＋a／[(e^(﹣x))]
(e^x)／a＋a／(e^x) = 1/（ae^x)＋ae^x
即(e^x)(1/a－a)+(a－1/a)／(e^x) = 0
(a－1／a)·[1／(e^x)－e^x] = 0
由于x的任意性，只有a－1/a=0，即a^2-1=0 ，由a>0，故a=1.
（2）证明：f(x)=e^x+1/(e^x)为增函数
证明：取X1，X2且0<X1<X2,
则f(X2)－f(X1)
=e^X2＋1／e^X2－(e^X1＋1／e^X1)
=(e^X2－e^X1)＋(1/e^X2－1/e^X1)
=(e^X2－e^X1)·【e^x2·e^x1－1】／【e^x2·e^X1】
∵0<X1<X2，∴x1＋x2＞0
∴e^x2·e^x1=e^(x1＋x2)＞eº=1，即：e^x2·e^x1－1＞0
∴f(X2)－f(X1)＞0，即：(X2)＞f(X1)
∴f(x)=e^x＋1/(e^x)在（0，﹢∞）上为增函数
最终答案：略