作业帮帮我证一下这个函数的单调性
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/31 05:42:14
帮我证一下这个函数的单调性
已知f(x)=1/2,x=0
(e^x-x-1)/(x^2),x≠0
求证：f(x)在R上递增
已知f(x)=1/2,x=0
(e^x-x-1)/(x^2),x≠0
求证：f(x)在R上递增
当x趋近于0时,对(e^x-x-1)/(x^2)采用罗比达法则,得(e^x-x-1)/(x^2)=1/2,
所以x=0对于函数(e^x-x-1)/(x^2)来说是可去间断点,
又根据题意,在x=0处补充定义f(x)=0.5,
所以(e^x-x-1)/(x^2)在R上连续且可导.
如果(e^x-x-1)/(x^2)在R上的导数是大于零的,那么(e^x-x-1)/(x^2)就是递增函数.下面证明之：
f(x)=(e^x-x-1)/(x^2)
f(x)'=(xe^x-2e^x+x-2)/(x^3)
用泰勒公式展开e^x得 e^x=1+x+(x^2)/2+(x^3)/6+o 【o为x^3的高阶无穷小量】
将其带入f(x)',当x趋近于0时,f(x)'=1/6,大于0.
当x>0时,只要xe^x-2e^x+x-2>0即可,
当x趋近于0+,xe^x-2e^x+x+2=0,
对xe^x-2e^x+x+2求导,得(x-1)e^x+1,如果(x-1)e^x+1>0,那么xe^x-2e^x+x-2为增函数,那么xe^x-2e^x+x-2>0.
对(x-1)e^x+1求导,得x,所以(x-1)e^x+1有极值点x=0,又y=x>0【当x>0】,所以(x-1)e^x+1>0【当x>0】.所以xe^x-2e^x+x-2>0 【当x>0】
所以 f(x)'>0 【当x>0】
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当x
所以x=0对于函数(e^x-x-1)/(x^2)来说是可去间断点,
又根据题意,在x=0处补充定义f(x)=0.5,
所以(e^x-x-1)/(x^2)在R上连续且可导.
如果(e^x-x-1)/(x^2)在R上的导数是大于零的,那么(e^x-x-1)/(x^2)就是递增函数.下面证明之：
f(x)=(e^x-x-1)/(x^2)
f(x)'=(xe^x-2e^x+x-2)/(x^3)
用泰勒公式展开e^x得 e^x=1+x+(x^2)/2+(x^3)/6+o 【o为x^3的高阶无穷小量】
将其带入f(x)',当x趋近于0时,f(x)'=1/6,大于0.
当x>0时,只要xe^x-2e^x+x-2>0即可,
当x趋近于0+,xe^x-2e^x+x+2=0,
对xe^x-2e^x+x+2求导,得(x-1)e^x+1,如果(x-1)e^x+1>0,那么xe^x-2e^x+x-2为增函数,那么xe^x-2e^x+x-2>0.
对(x-1)e^x+1求导,得x,所以(x-1)e^x+1有极值点x=0,又y=x>0【当x>0】,所以(x-1)e^x+1>0【当x>0】.所以xe^x-2e^x+x-2>0 【当x>0】
所以 f(x)'>0 【当x>0】
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当x