证明R²与R之间,不存在连续双射.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 10:24:56
证明R²与R之间,不存在连续双射.
首先要明确,你这样的叙述方法是不好的,双射的连续性不是自反的,不适合用“之间”这样方向不明确的讲法.虽然确实有不少人这样叙述,但很容易产生歧义,所以要尽量避免这种叙述.
你的叙述有以下三种解释方式
(1).不存在f:R^2->R满足f是双射且f和f^{-1}中至少一个连续
(2).不存在f:R^2->R满足f是双射且连续
(3).不存在f:R^2->R满足f是双射且f和f^{-1}都连续(即R^2和R不同胚)
直接按字面翻译应该是(1),但习惯上会解释成(2),当然我也不排除你想问的是(3).根据命题的强弱而言(1)=>(2)=>(3),证明(1)就够了.
先证明(2),如果f是R^2->R的双射且连续,那么记X=f^{-1}(0),Y=f^{-1}(1),Z=f^{-1}(2),取从X到Z且不通过Y的曲线C,那么必有f(C)=[0,2],矛盾.
然后证明(1)的另一半,如果f是R->R^2的双射且连续,考察闭区间[a,b]在f下的像f([a,b]),f([a,b])一定是不自交的曲线,容易验证[a,b]和f([a,b])同胚,于是f([a,b])是R^2上的零测度集.另一方面R^2是所有f([n,n+1])的并,矛盾.
你的叙述有以下三种解释方式
(1).不存在f:R^2->R满足f是双射且f和f^{-1}中至少一个连续
(2).不存在f:R^2->R满足f是双射且连续
(3).不存在f:R^2->R满足f是双射且f和f^{-1}都连续(即R^2和R不同胚)
直接按字面翻译应该是(1),但习惯上会解释成(2),当然我也不排除你想问的是(3).根据命题的强弱而言(1)=>(2)=>(3),证明(1)就够了.
先证明(2),如果f是R^2->R的双射且连续,那么记X=f^{-1}(0),Y=f^{-1}(1),Z=f^{-1}(2),取从X到Z且不通过Y的曲线C,那么必有f(C)=[0,2],矛盾.
然后证明(1)的另一半,如果f是R->R^2的双射且连续,考察闭区间[a,b]在f下的像f([a,b]),f([a,b])一定是不自交的曲线,容易验证[a,b]和f([a,b])同胚,于是f([a,b])是R^2上的零测度集.另一方面R^2是所有f([n,n+1])的并,矛盾.
圆的面积公式S=πr²,S与r之间的关系是
线性代数中R(A)与R(A*)与R(A-1)之间的关系
证明R(A)+R(B)-R(AB)
线代r(A)=r(A²)证明r(A)=r(A^k)
令a和b分别为Y对X回归和X对Y回归中的斜率,r为X与Y之间的线性相关系数,证明a*b=r²
线性代数 证明R(ABC)>R(AB)+R(BC)-R(B)
函数在R上连续,并且当x趋向于无穷大时极限存在,证明:函数在R上有界
证明:若F(X)在R上连续,且F(X)极限存在,则F(X)必在R上有界
证明:R(AB)
证明r(A+B)
证明y=sinx 在R上连续,请问下图画线的步骤(三角公式)
怎么证明常值函数在定义域R上是连续的呢?