作业帮数学二次函数所有整数值问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 15:01:56
数学二次函数所有整数值问题
(1)x∈[n,n+1],f(x)∈[n^2+n,n^2+3n+2],
而f(x)是连续的(没有断点),于是f(x)可以遍取[n^2+n,n^2+3n+2]内的整数
∴d(n)=n^2+3n+2-(n^2+n)+1=2n+3.
(2)用a[n]表示第n项
a[n]=(2n^3+3n^2)/d(n)=n^2
当n=2k-1,k∈N时:
S[n]=S[2k-1]=(1-2^2)+(3^2-4^2)+…+[(2k-3)^2-(2k-2)^2]+(2k-1)^2
=(2k-1)^2-(3+7+…+(4k-5))
=(2k-1)^2-(2k-1)(k-1)/2 (考虑到n=2k-1)
=n^2-n(n-1)/2
=(n^2+n)/2
当n=2k,k∈N时:
S[n]=S[2k]=(1-2^2)+(3^2-4^2)+…+[(2k-1)^2-(2k)^2]
=-(3+7+…+（4k-1)]
=-(n^2+n)/2
∴S[n]=[(-1)^(n-1)]*(n^2+n)/2.
(3)b[n]=(2n+3)/2^n
T[n]=5/2+7/4+…+(2n+3)/2^n
2T[n]=5+7/2+…+(2n+3)/2^(n-1)
两式相减：
T[n]=5+2[1/2+1/4+…+1/2^(n-1)]-(2n+3)/2^n
=7-(2n+7)/2^n
当n→∞,T[n]→7(可用极限定义证明)
显然：T[n]≤7,于是:L最小为7.
而f(x)是连续的(没有断点),于是f(x)可以遍取[n^2+n,n^2+3n+2]内的整数
∴d(n)=n^2+3n+2-(n^2+n)+1=2n+3.
(2)用a[n]表示第n项
a[n]=(2n^3+3n^2)/d(n)=n^2
当n=2k-1,k∈N时:
S[n]=S[2k-1]=(1-2^2)+(3^2-4^2)+…+[(2k-3)^2-(2k-2)^2]+(2k-1)^2
=(2k-1)^2-(3+7+…+(4k-5))
=(2k-1)^2-(2k-1)(k-1)/2 (考虑到n=2k-1)
=n^2-n(n-1)/2
=(n^2+n)/2
当n=2k,k∈N时:
S[n]=S[2k]=(1-2^2)+(3^2-4^2)+…+[(2k-1)^2-(2k)^2]
=-(3+7+…+（4k-1)]
=-(n^2+n)/2
∴S[n]=[(-1)^(n-1)]*(n^2+n)/2.
(3)b[n]=(2n+3)/2^n
T[n]=5/2+7/4+…+(2n+3)/2^n
2T[n]=5+7/2+…+(2n+3)/2^(n-1)
两式相减：
T[n]=5+2[1/2+1/4+…+1/2^(n-1)]-(2n+3)/2^n
=7-(2n+7)/2^n
当n→∞,T[n]→7(可用极限定义证明)
显然：T[n]≤7,于是:L最小为7.