过椭圆的弦的中点方程，怎么求

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/05 23:45:13

过椭圆的弦的中点方程，怎么求

解题思路：联立方程组用韦达定理，中点坐标公式；或点差法求斜率
解题过程：
直线与椭圆截得的弦的中点问题，有时可以通过“联立方程组、韦达定理、中点坐标公式”来求；有时可用“点差法”来求。
请看一个例题：
已知一直线与椭圆

相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（3，1），求直线AB的方程。
法一（联立方程组法）：设直线AB的斜率为k，则L方程为

联立

，
消去y并整理得

，………………（&）
设

，则由根与系数的关系得

，
则弦

的中点

的横坐标为

而根据条件，点

的横坐标已知为3，所以

，解得

，
【按说还应该返回（&）检验△＞0（但是，由于点M显然在椭圆内部，所以直线与椭圆相交于两点是必然的），
∴ 直线AB的方程为

，即：

．
法二（点差法）：设

，
由点A、B在椭圆上、 M(3,1)是AB的中点，可列出

（1）－（2）并分解，得

将（3）、（4）代入，可得

解得

这就是直线AB的斜率，所以直线AB的方程是

即

（因为点M在椭圆内部，所以直线与椭圆相交于两点是必然的）.

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