一道关于正方形的数学题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 15:49:44

一道关于正方形的数学题
已知：正方形ABCD 等边三角形CDE EG⊥BF交CD于点G
求证：三角形FGB为等边三角形

连接AE
因为△CDE为等边,ABCD为正方形,所以ED=EC=CD=AD=BC,
所以△ADE全等于△CBE为等腰△,所以EA=EB
∠EDC=60°,所以∠ADE=30°,∠DAE=∠DEA=75°
同理得∠ECB=∠EBC=75°
因为EG⊥BF,即∠GEB=∠GEF=90°
所以∠GEC=15°因为∠DEC=60°所以∠DEG=45°,所以∠DEF=45°
又因为∠ADE=30°,所以∠AFE=∠ADE+∠DEF=45°+30°=75°=∠DAE
所以AE=EF=EB,即E是FB的中点且GE垂直于BF
所以FG=BG
因为EG⊥BF,即∠GEF=90°,
因为∠FDG=90°,∠FDG+∠FEG=180°,
所以D、G、E、F四点共圆,（若四边形对角互补,则四边形内接于圆）
所以∠EFG=∠EDG,（同弧圆周角相等）,
因为△EDC是正△,
所以∠EDC=60°,
所以∠EFG=60°,又FG=BG
所以△FGB为等边三角形

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